Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
Интегрирование аналогично уравнениям (271) и (273) дает
d{yjb)+Ct(x). (275)
U2 dx j b d (y/b)
* ^
Равенство (275) указывает на связь между осредненным произведением -рuv,
которое включает турбулентный сдвиг -рu'v\ и распределением продольного
компонента скорости, так что выражение для одного из них определяет
другое.
Как было упомянуто, осредненные величины всех скоростных характеристик
являются функциями только у/b, а не х. Отсюда, поскольку интегралы как
равенства (273), так и равенства (275) являются функциями только у/b,
величины С\ (х) и Сг(х) должны быть постоянными, а эти равенства
содержать кроме db/dx только постоянные величины и функции от у/b.
Следовательно, db/dx не может быть функцией х и ширина b зоны диффузии
увеличивается линейно в зависимости от х. Скорость распространения,
однако, будет зависеть некоторым пока еще неизвестным образом от
соотношения скоростей двух параллельных потоков:
А - f (Ч±
dx ((/2
Приведенный анализ, очевидно, достаточен только для подтверждения
основных соотношений, присущих рассматриваемому потоку. Интегральные
выражения, описывающие общие стороны неразрывности, количества движения и
энергии потока, могут быть с успехом использованы в этом направлении,
помогая с большей отчетливостью представлять характеристики потока.
Эти интегральные соотношения, конечно, выведены из тех же основных
уравнений, на которых построена вся механика жидкости. Например,
уравнение неразрывности, проинтегрированное по у, может быть записано в
виде
f - dy = - Г - dy = - v 4- v = V. -f- V2 J дх * Jdy " -г- -" i
ж 2
- Оо --оо
Интеграл слева представляет продольную скорость изменения объемного
расхода через любое нормальное сечение; указанная скорость должна быть
равна сумме поперечных скоростей (рис. 119). Если это выразить через
дефицит скорости, производ-
340
ная по х может быть поставлена перед интегралом. Путем дальнейших
преобразований, подобных проделанным с равенством (271), получено
соотношение
А
dx
I7! ~Ь У2 Ud
в котором Ua то же, что и раньше, а ие = и- U2. Сумму интегралов,
представляющую собой, конечно, цифровую величину, обозначим через /ь
Скорость изменения Ъ в продольном направлении, таким образом, составит
db
dx
Vi + Vt
Ud h
To, что ширина зоны диффузии зависит от х линейно, теперь устанавливается
непосредственно, так как V\ и V2 - поперечные скорости вне зоны
перемешивания - постоянны.
Хотя здесь для получения искомого соотношения была необходима
интегральная форма только уравнения неразрывности, в других
случаях, как будет показано далее, потребуются интегралы количества
движения и энергии.
98. Распределение скоростей при смешении потоков. В настоящем анализе
будет использовано уравнение движения в форме
Рис.
119. Соотношение продольного поперечного потоков
- д и и - дх
- д и '~дУ
д х
ху
ду
(276)
где хХу = -рu'v'. Прандтлевское представление о длине пути перемешивания,
описанное в п. 78, может быть использовано здесь для получения
соотношения между сдвигом и градиентом скорости в любой точке:
д и
ду
д и |
ду\
Как показано в предыдущем пункте, допущение о подобии требует линейной
зависимости b от х, так что распределение скорости может быть записано в
функциональной форме как
и
А
= /
341
Если в прандтлепсыш nmoie-ie к мехапп ь.с :урбулгпu.ociи имеется подобие
турбулентности, ли отношение длины путл перемешивания к ширине поперечною
ссчсяия нмжно быть функ
Самой ирогюй зависимостью, хотя не единственной и не самой лучшей, может
быть Hb - const, дтп которой и силу линейной швисимоети Ь от х
у-\
находится обычным способом из записи I,'-* "'dy и интегрирования
равенства u = L'yiy,:x) Пцща moivi Cun, получены выражения для
кочгоцеитов осредненной скорости
" _ i {у;х) ~F ' ' ~F '
где F=.Ux \ 1ицх)с1(у;х); F'- (!,f(y;x). НЬрпх над F укаы.тяе! ка
дифференцироздыно но и'х. Подстановка в уравнение движс-1:ия приводит к
обычному дифференциаленочт vpapnc-нию f"'('|) + 7(4) -1", где для
упрощения предстоящих мятгм,т~нчсски\ операций иг пользована
дополнше.чьнан подстановка
Решение указанного дифференциального хразкения может быть шипении чаи
О(п') 4'-' -I dA'-coA Ay _d,"-'-8,n^A4>
где т)' = 1| Гц. гц- величина ц при и- l\, a iii, d2 и di - цпсто янпые
Четыре граничных значения могут быть определены пл ус ловий па внешних
пределах зоны диффузии: скорость там долж ка быть ранни скорости соседнею
окружающею нотка, а гра дпепг скорости в поперечном чагтргвленли юлже i
равняться ну-
Если в прандтлевской гипотезе о механизме турбулентности имеется подобие
турбулентности, то отношение длины пути перемешивания к ширине
поперечного сечения должно быть функцией yjb
i / У
-Т=8
Самой простой зависимостью, хотя не единственной и не самой лучшей, может
быть //6 = const, для которой в силу линейной зависимости b от х
I = Сх X.
Функция тока
находится обычным способом из записи ty-iudy и интегрирования равенства
u=Uif(y/x). Отсюда могут быть получены выражения для компонентов
