Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
заменить Udud/Ud (Ud - максимальное значение ud) и ввести безразмерную
переменную rjb, равенство превращается в следующее:
оо .
- ~ Сс <* и\ - Up, ((-). (277)
О d
Левая часть уравнения постоянна для данного тела и скорости, интеграл в
правой части тоже постоянен. Зависимость между Ud и b -
характеристической длиной любого сечения следа выглядит так:
Udb2 = const.
Для определения изменений Ud и Ь от х требуется еще одно равенство. Оно
может быть получено из уравнения энергии. Используя некоторые допущения,
как в равенстве (276), получим для осесимметричного потока
udI + vdI = ±.dJ^l. (278)
дх дг р г дг
Умножив это выражение на иг
-2 да, д и и д (г т)
ги \-ruv - = •---,
дх дг р дг
использовав равенства д{ииг)/дг = 2uvrdu/dr + ud(vr)/dr; д (игх) 1дг = ид
(гг) /дг + гхди/дг и уравнение неразрывности
получим
JL ц2г - -J- 1 d(u2vr) _ 1 д (ц г t) г х ди 2 дх ' 2 дг р дг
р дг
Интегрирование по г от центральной линии до края зоны диффузии и
умножение на 2яр дает
ь -з -2 _ ь ь ь. _ -
- Г Pii_ 2nr dr -f- - v 2яг = и г 2nr - it - 2яг dr. dx J 2 2 .1 dr
о ooo
Первый член в правой части равен нулю при обоих пределах. На центральной
линии второй член левой части также равен нулю, но у края следа, где
u=U\, произведение 2nrv равно скорости изменения расхода в следе, так
что, используя понятие о неразрывности, будем иметь
Ь Ь 9
= --Г
dx J
Р ~ 2 -
- и и 2лг
- и2яг dr. 2
б
Тогда уравнение энергии будет
Г 2л г dr-------------Г -и 2nrdr = - Г т - 2лг dr.
dx J 2 dx J 2 ,) dr
0 0 0
Члены в левой части уравнения являются продольными градиентами потока
энергии соответственно через нормальное и периферийное сечение. Сумма их
должна равняться скорости, с которой совершается работа турбулентного
сдвига. Если ввести дефицит скорости и увеличить до бесконечности верхний
предел, уравнение приобретает вид
, ОС ос СО \ 00__ _
~ | 2 J U\ ud г dr -|- 3 j" Ux u2d rdr ']^u3drdr \ = - 2 J - • rdr.
V о '! о 1 о P
Третьим интегралом в левой части уравнения можно пренеб-
- 3 -Q
речь для последней части_следа, так как ua^UiUd ¦ Соответственная
подстановка ud= UdUdlUd и безразмерной переменной rjb приводит к новой
форме уравнения:
Так как каждый из интегралов является числом постоянным и может быть
обозначен соответственно через /2, /3 и /4, а постоянное значение Udb2
известно из уравнения количества движения, то последнее равенство
сводится к такой форме:
Спа2и\ лТ). /~ СТаЧ/, -Ь
3/, = 2/Л / - U,
и.у-
Это уравнение после интегрирования по х дает зависимость
4/, dx "У 4/2 d
Ud = klX \
Теперь может быть получено изменение распространения зоны диффузии; так
как Udb2 есть величина постоянная, то
b = k2 х/з.
Полученные здесь результаты могут быть применены только к участку
осесимметричного следа намного ниже тела из-за принятого допущения, что
дефицит скорости ud в зоне диффузии намного меньше, чем Uь сделанного для
того, чтобы пренебречь
-2 - 3
величинами ud и Ud соответственно в уравнениях энергии и количества
движения. Следует заметить, что пренебрежение членами, выражающими
количество движения через цилиндрическую поверхность области, показанной
на рис. 123, изменяет функцию только на числовой множитель. Поэтому
иногда для выражения изменения потока количества движения ограничиваются
слагаемыми для нормального сечения.
100. Общие характеристики следов. Как было указано при рассмотрении
смешения потоков, общие характеристики течения могут быть описаны или
только что сформулированными интегральными соотношениями, или анализом
Рейхардта. Именно последний будет приведен здесь для случая двухмерного
следа. По существу для анализа следов делаются те же допущения, что и в
случае смешения потоков, так что снова применяются уравнения (271) и
(274). Необходимо, однако, заметить, что анализ ограничивается следом,
вне которого скорость окружающей жидкости U1 есть величина постоянная,
внутри которого можно пренебречь градиентом давления и в котором можно
ожидать подобия безразмерных эпюр скоростей udIUd при единственном
параметре положения у/Ь.
В зоне установившегося течения в следе величина Ud не постоянна, поэтому
обе части уравнения неразрывности (271) сохраняются, и уравнение (272)
принимает вид
д v =ц db_ jl d (tTdfud) ^dUd hd d (у/b) d dx b d (у/b) dx JJd
348
Интегрирование по ylb и деление на Ud приводят к равенству
db С у д (ud <Ud) d __ь±(\пйА Г d f-) + Ca,
Ud dx J b d(y/b) dx J ud \ b
где C3 - постоянная, аналогичная Ci и C2 в п. 97.
После интегрирования первого члена по частям получаем
J_ ^J_'UjL'db_b dijnVJ f /_у_\ + (279)
Ud b Ud dx dx J Ud \ b /
Это равенство для зоны установившегося течения в следе можно сравнить с
уравнением (273) для зоны диффузии при смешении потоков. Оно позволяет
установить поперечный компонент осредненной скорости, если известно
распределение про-
дольных скоростей.
Уравнение (274) может теперь быть проинтегрировано аналогично уравнениям
(271) и (279)
- "2
UV у
и2 ъ и2
