Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
+
В условиях зоны установившегося течения в следе это уравнение дает
однозначную связь между произведением puv и продольной скоростью.
Дальнейшее рассмотрение членов полученного равенства позволяет установить
изменения b и Ud от у. Ниже по течению от тела продольная скорость
изменения потока количества движения может быть принята равной нулю в
соответствии с допущением о постоянстве давления в следе. Это дает
выражение (относительно малое воздействие турбулентных пульсаций в потоке
количества движения не учитывается):
00
| ри dy - О,
- со
из которого после введения у/b и квадрата дефицита скорости 2 <2 2 2
и* - интегрированием может быть получено равенство
bul = const.
Таким образом, второй член в правой части уравнения для осредненного
произведения равняется нулю, и так как uv = 0 при ylb - 0, то постоянная
С5 также равна нулю. Следовательно, остается
2
uv у u* db
b jj*i dx
349
Так как критерием подобия для осредненного произведения принято выражение
uv/ U\ = f(y/b), то левая часть последнего равенства функция не только
yjb. Однако в области следа на значительном расстоянии от тела дефицит
скорости так мал,
что Ud<^.2Ul и u[~2uaU\\ это является прямым результатом - - 2 2
связи между ud/Ud и u jUt. Уравнение для этой области может быть выражено
после умножения последнего равенства на
Tfju\.
uv у ud 2Ui db
b ud ud dx '
Поскольку все остальные множители в этом уравнении являются
функциями только yjb, произведение db/dx и 2U\/Ud долж-
но быть величиной постоянной:
db 2 Ui о
dx Ud
Для этой же области в двухмерном потоке может быть выведено уравнение
количества движения, подобное равенству (277):
где Ь0 - ширина тела, а Y=
Ud j \ь
Подставляя в предыдущее уравнение для db/dx выражение для 2U\/Ud из
уравнения количества движения и интегрируя результат подстановки,
получаем равенство
иг Р и
Ьг = ~Ь0х,
2 у
в котором начало координат выбрано так, что х = 0 при Ь = 0. Из этого
соотношения очевидно, что ширина зоны диффузии Ь увеличивается
пропорционально корню квадратному из продольного расстояния х.
Подстановка полученного выражения для b в уравнение количества движения
дает равенство
Ч± = 1/ ¦ _L
Ui X spy * ' которое показывает, что в двухмерном следе максимум дефицита
скорости Ud изменяется обратно пропорционально корню квадратному из х.
350
101. Распределение скорости в следах. Для анализа распределения скорости
в зоне установившегося течения в следе может быть снова использовано
прандтлевское представление о длине пути перемешивания, выражающее
распределение турбулентного сдвига. Ход исследования в основном тот же,
что и для смешивающихся потоков, но с некоторыми изменениями. Например,
допущение о подобии эпюр скоростей [уравнение (270)] переписывается на
основе установленной зависимости b и Ud от х. Следуя указаниям Шлихтинга,
для упрощения дальнейшего анализа вместо х я у используются безразмерные
координаты х' = = x/(CDbо) и y' = y/(CDbо) Критерий подобия записывается
тогда так:
^ = (X'f ^ f j = (x'f ^ f (Ц), (280)
где ц = у'/ Ух'. Точно так же длина пути перемешивания снова считается
постоянной в поперечном сечении и пропорциональной ширине сечения, так
что длина пути перемешивания в функции от х получает выражение
l = c2CDb0(x')1''.
Введение дефицита скорости ud = u-[Д и прандтлевского выражения для
турбулентного сдвига в равенство (276) дает уравнение движения
U ' ц I у d_Fi = 2/г дЛй _ д2иа
1 дх "и й дх ду ду ду2
Как было указано, для зоны установившегося течения ud
Uи поэтому можно отбросить второй член в левой части уравнения,
пренебрежимо малый по сравнению с первым. Подобным же образом величина v
мала по сравнению с ud, и третьим членом ее также можно пренебречь.
Упрощенное уравнение
JJ д Ud 2/2 ^ ^d д2 ud
1 дх ду ду2
и будет использоваться для анализа.
Функция тока в системе координат х'у' имеет вид
= JW = tw +/о,
где F = \f(r\)dr\.
Подстановка выражения для / в упрощенное уравнение движения и
использование производных от функции тока приводит к дифференциальному
уравнению
_ JL (F' + т|F") = 2с\ F" F"'.
351
Штрихи над F и соответственно над f обозначают дифференцирование по г|.
Первый интеграл уравнения составляет
- г]F' = 2с| F"2 + const,
где постоянная интегрирования равна нулю, потому что г| = 0 и jF" = 0 (т.
е. у = 0 и ди/ду = 0) на центральной линии. Поскольку F'=f, то интеграл
может быть записан как
- r\f = 2с\ //2.
Введение новой переменной
Чу - Ц (2с|) 3
дает результирующее выражение
После разделения переменных получается дифференциальное уравнение первого
порядка, решением которого служит
(281)
Для оценки этого выражения используются три граничных условия. На
центральной линии следа r] = r|i = 0, так что /(гц) = =-Л2. Это дает
зависимость изменения скорости на центральной линии от расстояния вдоль
следа
U-^ = -АЧх')~т,
Ux v / >
где А - еще не определенная постоянная. На границе следа иц = = 0 и
поэтому/(гц) =0, что приводит к выражению
