Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
как мы видели, устойчивый предельный цикл. Модуляция, очевидно, возникает
н результате взаимодействия осцилляторов и в консервативных системах и
средах (см. гл. 17). Например, при выполнении условий резонанса 2и>о =
+и>2 этот процесс естественно назвать взаимной модуляцией; если же
|ш0 - wi,2| "С шо,1,2 и ЛГ0(0) N1,2(0), то
такой процесс распада пар квазичастпц шо на сателлиты u>i и и>2 - это
самомодуляция.
Поскольку только модулированные колебания и волны могут переносить
информацию, процесс "создания модуляции" и перенесения заданной модуляции
на несущую чрезвычайно интересен для разнообразных приложений. В этой
главе мы рассмотрим лишь процессы возникновения модуляции. В основном
речь пойдет о модуляции волн, возникающей при их распространении и
взаимодействии в нелинейных средах. Нелинейные явления и эффекты,
связанные с модуляцией волн, очень разнообразны. Это самофокусировка
волновых пучков [1, 25], са-
20.1. Общие замечания
411
мосжатие волновых пакетов [2, 15], обращение волнового фронта [3, 4] и
многое другое [4].
Поскольку дальше речь пойдет лишь о квазигармонических модулированных
волнах, оговоримся здесь о существовании в общем случае гораздо более
широкого класса модулированных волн - несинусоидальных (и даже не
обязательно периодических) волн с медленно изменяющимися параметрами. Как
мы уже знаем, поведение волны в нелинейной среде зависит от соотношения
параметров дисперсии D и нелинейности N. Когда IV -С D, волна будет
квазигармонической, ее гармоники будут бежать с существенно различными
скоростями (нет синхронизма) и потому эффективно основной волной
возбуждаться не будут т. е. не повлияют существенно на ее форму. При этом
волну можно записать в виде А(т. t) exp(1ф) + к. с., где А - медленно
изменяющаяся амплитуда, а ф - полная фаза (эйконал). В рамках такого
описания можно построить "нелинейную геометрическую оптику" (по поводу
линейной геометрической оптики см. [5] и гл. 12), в которой уравнения для
амплитуды волны и полной фазы в отличие от линейной задачи оказываются
связанными. При этом характер модуляции волны в процессе распространения
зависит от ее амплитуды (это само-воздействие: именно к такому классу
явлений относятся упоминавшиеся самофокусировка волновых пучков и
самомодуляция, приводящая к образованию волновых пакетов).
Если же дисперсия и нелинейность одного порядка, то волна уже будет
существенно несинусоидальной (выросшие за счет энергии основной
составляющей гармоники изменят форму волны). В средах с IV ~ D, как мы
видели, возможно существование стационарных нелинейных волн (см. гл. 19),
распространяющихся без искажения профиля с постоянной скоростью. Такие
волны принадлежат, конечно, частному, хотя и важному классу волн в
нелинейных средах. Однако если эти волны рассматривать как основу для
построения более широкого класса решений, полагая, что их параметры
плавно модулируются во времени и пространстве, то таким образом уже можно
описать довольно широкий круг нелинейных явлений - возникновение
модуляции на фоне периодических солитонных решеток, деформацию профиля
нелинейной волны при распространении в неоднородной среде и т. д. [6].
Подобный подход оказывается плодотворным даже и при N ^> D, когда
возникают ударные волны. Если при сохранении неравенства N > D сама
нелинейность достаточно мала, то эволюцию волны можно рассматривать как
медленную модуляцию, поскольку она осуществляется на расстояниях, много
больших ее характерной длины [6, 7].
412
Глава 20
А теперь вернемся к квазигармоническим волнам. Первый вопрос, который
возникает в связи с обсуждением поведения модулированных волн в
нелинейной среде, - как будет распространяться модуляция?
В равновесных прозрачных (без диссипации) средах эволюция одномерной
модулированной волны А(х, t) exp[iip(x, ?)] описывается уравнениями
dk/dt + дш/дх = О, (20.1)
dW/dt + dS/dx = 0, (20.2)
где к(х, t) = -•фх-, ш(х, t) = ipt - соответственно волновое число и
частота модулированной волны, a W и S - усредненные за период плотность и
поток энергии волны [6]. Уравнение (20.1), очевидно, получается из
определения к и ш, а (20.2) выражает просто закон сохранения энергии в
среднем за период. Чтобы уравнения (20.1), (20.2) образовали замкнутую
систему, их следует дополнить дисперсионным уравнением среды. Если среда
нелинейна, то частота (или волновое число) будет зависеть от энергии
волны (вспомним неизохронный осциллятор), т. е. мы должны написать
ш = ш(к, А2) или к = к(ш, А2). (20.3)
Таким образом, в нелинейной среде уравнения, описывающие распространение
фазы и энергии, уже не будут независимыми [5, 6]. Учтем теперь, что наша
волна квазигармоническая, при этом зависимость ш или к от А2 слабая, и
(20.3) можно разложить в ряд
к(ш, А2) " к(ш, 0) + аА2 + ... (20.4)
После подстановки этого выражения в (20.1) получим уравнение
дш/дх + v^1 (w)dw/dt + а дА2/dt = 0 (20.5)
- приближение нелинейной геометрической оптики [5, 6, 10]. Ограничимся
