Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
преломления. Для более простого случая плоских волн вместо (20.8) мы
будем использовать уравнение
(да . да) i d2u> д2а . -а i 12 n /"on п\
+ = °- (20'9)
где /3 = аен. Слагаемые в скобках описывают волны модуляции, бегущие в
линейной среде без дисперсии с групповой скоростью г; слагаемое со второй
производной (параболическое слагаемое) пропорционально (Рш/dk2 и
ответственно за дисперсионное расплывание, а коэффициент в ответствен за
величину и знак нелинейности (В ~ а в (20.6), (20.7)).
Уравнения (20.8) и (20.9) - это уравнения второго приближения
асимптотического метода для квазигармонических волн (см. гл. 17). Эти
уравнения нетрудно получить, подобно уравнениям (17.30) (см. также [9]),
если запастись некоторым терпением и аккуратно проделать все
арифметические выкладки. Мы здесь, однако, воспользуемся более простым и
наглядным выводом [6, 10], который основывается на уже знакомых
уравнениях (20.1), (20.2). Перепишем здесь (20.2) в виде (напомним, что
речь идет о квазигармонических волнах)
дА2/dt + d[v(uj, А2)А2]/дх = 0 (20.10)
и введем комплексную амплитуду (огибающую)1
а(х, t) - А(х, t) ехр[г<?>(ж, ?)], (20.11)
где dip/dt = ui0 - и>, ду>/дх = к - к0 = кг (ко, - волновое
число
и частота гармонической волны, на фоне которой и существуют наши
волны модуляции). Если теперь правую часть дисперсионного уравнения
(20.3) разложить в ряд вблизи ко и приравнять нулю А2, то после
подстановки этого разложения и выражения (20.11) в (20.1) и (20.10)
получим искомое уравнение (20.9). Проделаем это на примере
слабонелинейных гравитационных волн, нелинейное дисперсионное уравнение
1Практически мы сейчас повторим вывод уравнений (20.6), (20.7) только в
комп-лексной форме, и не будем пренебрегать никакими слагаемыми второго
порядка малости.
20.2. Самомодуляция. Возвращаемостъ
417
для которых было получено еще Стоксом в середине прошлого века:
ш2 = gk(l +к2А2). (20.12)
Полагая, что к = к0 + кх, разложим правую часть этого выражения в ряд
и,(к) =и>0 + - ~^kl - \w0k20A2 + ... , (20.13)
^^0 О&0 *
где ш0 = (gkо)1/2 - закон дисперсии гравитационных волн в линейном
приближении (см. гл. 5). После подстановки (20.13), (20.11) в (20.10),
(20.1) найдем нелинейное параболическое уравнение (20.9)
(да . wo да\ , i д2а -шок%. |2 _
U + 2Sa^J + 2S|^ + •-1"'" = °'
в котором для модулированных гравитационных волн на глубокой воде v =
ш0/(2к0), <Pw/dk2 = -ш0/(4к$), /3 = ш0кЦ2.
Уравнение (20.8), описывающее неодномерные волны модуляции, получается
совершенно аналогично, только к следует считать вектором и при разложении
в ряд вблизи ко необходимо учитывать его поперечные составляющие (при
этом дф/дх = кХх, дф/ду = кХу, дф/dz = kXz). Предлагаем читателю
проделать это самостоятельно на уже рассмотренном примере гравитационных
волн.
Уравнение (20.9) сейчас является одном из основных уравнений "нелинейной
физики" - оно описывает эволюцию оптических волн в нелинейных кристаллах,
ленгмюровских волн в плазме, тепловых волн в твердых телах и многое
другое. Это уравнение, в частности, связано с известным и теории
сверхпроводимости уравнением Гинзбурга-Ландау [12].
Опишем здесь на основе этого уравнения три основных явления, наблюдаемых
при распространении одномерных квазигармонических волн в слабонелинейных
средах, - модуляционную неустойчивость, существование стационарных волн
огибающих (в том числе солитонов) и периодически повторяющийся во времени
и пространстве возврат слабомодулированной волны (в процессе эволюции
приближающейся к периодической последовательности солитонов) к исходному
- слабо-модулированному состоянию.
Модуляционная неустойчивость, как мы сейчас увидим, возможна только при
определенном соотношении знаков нелинейности и диспер-
418
Глава 20
сии групповой скорости:
/3 d2w/dk2 < 0.
(20.14)
Понять физический механизм этого ограничения (обычно называемого условием
Лайтхилла) проще всего, если рассматривать эффект самомо-дуляции не на
пространственно-временном языке, а на спектральном, ограничиваясь
анализом взаимодействия лишь трех волн осцилляторов, образующих волну с
синусоидальной модуляцией.
Для комплексных амплитуд несущей и симметрично расположенных относительно
нее спектральных сателлитов и)± из (20.9) получаются уравнения вида
(амплитуды сателлитов предполагаются малыми)
Здесь учтено, что ввиду спектральной близости сателлитов расстройка (5 =
2и>о -ш(ко +ki) -и>(к0 - Ад) и - (dfui/dk2)2. Таким образом, мы вернулись
к задаче о параметрической неустойчивости. Параметрический инкремент, с
которым нарастает амплитуда сателлитов в заданном ноле несущей,
Поскольку пространственный масштаб модуляции может быть произволен,
необходимое (а при Ад -> 0 и достаточное) условие модуляционной
неустойчивости есть j3d2uj/dk2 < 0.
Теперь уже очевиден и его физический смысл: чтобы модуляционная
неустойчивость появилась, нелинейная расстройка от синхронизма,
пропорциональная /3\а0\2 должна скомпенсировать линейный рас-синхронизм,
