Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
практической точки зрения - реализовав их, можно было бы передавать
энергию, скажем, электромагнитного поля в нелинейной среде на большие
расстояния, не опасаясь потерь, вызванных дифракцией. Однако такие
волноводы неустойчивы.
Пояснить эту неустойчивость можно с помощью метода моментов [27]. Будем
для простоты все коэффициенты в (20.8) считать равными единице: ш* 4- Да
- |а|2а = О.1 Это уравнение
можно записать в форме iat = 5Ж/5а* [28], где гамильтони-
ан Ж - J(|Va|2 - |a|4/2)dr. Рассмотрим эволюцию во времени эффек-
тивной ширины пучка (г2) = N 1 J r2\a\2 dr
- ОО
ОС
ОС
ОО
d2(r2)/dt2 = 4d I |Va|2 dr - 2d I \a\4 dr, (20.23)
- OO
- OO
хМы исследуем устойчивость однородного вдоль направления распространении
пучка по отношению к однородным возмущениям.
20.3. Самофокусировка
427
где d - размерность пространства (d ^ 2). Это выражение получается из
определения (г2) при использовании уравнений движения пучка в
гамильтоновой форме и интегрирования по частям. Первое слагаемое в
(20.23) описывает дифракционное расплывание пучка, второе - его
нелинейное сжатие. Таким образом, как следует из (20.23) [27, 28], при d
> 2 имеем d?(r2)/dt2 < 8Ж (при d = 2 d2{r2)/dt2 = 8Ж). Стационарному
волноводу (нелинейное сжатие компенсируется дифракционной расходимостью)
отвечает значение Ж = 0. Из последнего равенства видно, что двумерные
(осесимметричные) волноводы неустойчивы - либо любое малое возмущение
приводит к сжатию пучка (когда начальная энергия возмущений окажется
отрицательной и, следовательно, Ж < 0), либо волновод расплывается (при Ж
> 0).
Рис. 20.8. Самофокусировка акустического пучка в воде с пузырьками газа:
а - порог самофокусировки не достигнут: б - порог самофокусировки
превышен
В заключение подчеркнем, что самофокусировка пучков, представляет интерес
не только в оптике, но и в акустике, физике плазмы и т. д. Для примера на
рис. 20.8 приведены результаты эксперимента по самофокусировке
интенсивных ультразвуковых волн в дистиллированной
428
Глава 20
воде с пузырьками газа [29] (пузырьки в воде появились из-за явления
кавитации).
20.4. Взаимодействие волновых пучков и пакетов
Явления, возникающие при нестационарном взаимодействии ква-
зигармонических волн, очень разнообразны. Это, например, слияние
импульсов и пучков резонансно взаимодействующих волн в неравновесных
средах [30], существование связанных (трехволновых) солитонов модуляции
[31], обращение волнового фронта [32, 33] и многие другие. Количественное
описание этих и подобных эффектов весьма сложно, поскольку при этом
приходится решать систему связанных нелинейных параболических уравнений.
Качественно же многие из (них пояснить нетрудно, что мы и сделаем в этом
параграфе.
Обращение волнового фронта [32, 46]. Уже в первых экспериментах по
вынужденному рассеянию электромагнитных волн на создаваемой ими звуковой
решетке (условие синхронизма wo = + П, k0 = кс + q,
где wo, ко и wc, кс - соответственно частота и волновое число падающей и
рассеянной электромагнитных волн, а Я, q- частота и волновое число
акустической волны) было замечено, что при выходе из области нелинейного
взаимодействия рассеянный назад волновой пучок примерно повторяет
эволюцию пучка падающей волны-накачки. Затем выяснилось, что во многих
экспериментальных ситуациях рассеянная волна точно воспроизводит
комплексно-сопряженную падающую волну, сильно промодулированную в
поперечном направлении [3]. Повторение рассеянной назад волной того же
оптического пути, который прошла накачка по неоднородной (в общем случае
случайной) среде, но в обратном направлении, означает, что область
нелинейного взаимодействия работает как эффективное зеркало. Но зеркало
очень необычное: отраженная назад волна повторяет оптический путь
падающей волны, лишь когда ее фазовый фронт оказывается комплексно-
сопряженным с фазовым фронтом накачки: а*(г) ~ ао(г). При этом полная
фаза квазигармо-нической волны (iut - ikx + iip) при распространении в ^-
направлении меняется, как у падающей при обратном ходе времени. Именно
поэтому эффекты воспроизведения поперечной модуляции пучка падающей волны
в излучении, идущем из области нелинейного взаимодействия, получили
название "обращение волнового фронта".
То, что объем нелинейного взаимодействия работает как обращающее зеркало,
связано с избирательным характером усиления рассеянной
20.4. Взаимодействие волновых пучков и пакетов
429
(стоксовой) волны, которая нарастает из шумов, в поле сильно
неоднородного в поперечном направлении пучка накачки. Если фазовый фронт
накачки немодулирован, то в ее поле одинаково усиливаются рассеянные
назад волны с произвольной поперечной структурой; если же фронт накачки
сильно изрезан, то рассеянная волна, промодулированная в поперечном
направлении таким образом, что максимумы ее амплитуды попадают на
минимумы амплитуды накачки и наоборот, усиливается хуже, чем та, которая
повторяет профиль накачки. Подобные "отражающие зеркала" могут быть
