Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 880

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 874 875 876 877 878 879 < 880 > 881 882 883 884 885 886 .. 942 >> Следующая

возмущение - не зависит от времени, солитоны могут лишь меняться местами
в пространстве. Число солитонов зависит от формы начального возмущения;
вершины их лежат на одной прямой, так как расстояние, пройденное каждым
солитоном. пропорционально его скорости, а последняя, как мы уже знаем,
пропорциональна амплитуде.
Такой метод решения уравнения Кортевега-де Вриза называется методом
обратной задачи рассеяния, поскольку мы решаем задачу на собственные
значения для уравнения Шредингера с потенциалом u(t, х), где t играет
роль параметра. В квантовомеханическом урав-
402
Глава 19
сг"
t=О
и
2,0
1,0
О
-1,0.
сг"1
ст<1
>0
а)
сг*1
сг"1
t '
1=0
и
'' 1
V
О 0,5 1,0 1,5
О 0,5 1,0 1,5
Рис. 19.8. Эволюция начального возмущения при различных значениях
параметра а = Д2итах/(12/3), характеризующего отношение нелинейности и
дисперсии в системе: а - преобладает дисперсионное расплывание; б -
вначале имеет место тенденция к опрокидыванию, но из-за дисперсии
возмущения с разными длинами волн разбегаются и возмущение разбивается на
короткие импульсы; в - результаты численного моделирования [15]
(изображен один период)
нении е - уровень энергии, а Ф - волновая функция. Прямая же
квантовомеханическая задача рассеяния - это решение уравнения (19.17) с
заданным потенциалом и. Оно позволяет рассчитать, например, коэффициент
отражения волны (волна определяется зависящей от координаты волновой
функцией Ф), падающей из бесконечности на потенциальный рельеф и{х). Если
падающая из бесконечности волна плоская с единичной амплитудой, то
амплитуда отраженной волны называется коэффициентом отражения. Мы искали
сам потенциал. Это и есть решение обратной задачи квантовой теории
рассеяния: по известному ко-
19.3. Солитоны как частицы
403
эффициенту отражения восстанавливается потенциальный рельеф и(х).
Подробно метод обратной задачи рассеяния изложен в [10-12].
Поясним, почему солитон является устойчивым возмущением. Введем
безразмерный параметр а = А2итях/(12(3). Этот параметр характеризует
отношение нелинейности к дисперсии в системе, так как чем больше
амплитуда итях. тем сильнее сказывается нелинейность, а (3 характеризует
высокочастотную дисперсию. Для солитона сг = 1, т. е. эффекты нелинейной
эволюции н дисперсионного расплывания как раз уравновешивают друг друга.
При сг -С 1 (рис. 19.8а) возмущение с резким фронтом ведет себя, как в
линейной диспергирующей среде. Для него основной эффект - появление
сравнительно длинноволновых осцилляций, что приводит к увеличению Д и,
следовательно, сг, т. е. к установлению волны с сг = 1. При сг 1
дисперсионные эффекты несущественны: основную роль играет нелинейность,
приводящая к формированию коротких импульсов, и лишь потом сказывается
дисперсия, уравновешивающая процесс (рис. 19.86). Именно так начальное
возмущение большей амплитуды распадается на последовательность солито-
нов, вершины которых лежат на одной прямой (на рис. 19.8в приведены
результаты численных расчетов, взятые из работы [15]).
19.3. Солитоны как частицы
Будучи довольно сложными образованиями, солитоны и солитон-ные
периодические решения (кноидальныс волны) при взаимодействии друг с
другом должны были бы вести себя очень сложно. Однако, судя по многим
физическим и численным экспериментам, это не всегда так. Зачастую,
наоборот, солитоны при взаимодействии ведут себя на удивление просто -
отталкиваются, притягиваются или колеблются друг относительно друга (рис.
19.9), совсем как классические частицы! Как недавно было установлено, эта
внешняя аналогия оказывается довольно глубокой по отношению к слабо
взаимодействующим соли-тонам (или кноидальным волнам). Если различие
скоростей (или, что то же самое, энергий) солитонов мало и на протяжении
всего процесса расстояние между их максимумами остается большим по
сравнению с эффективной шириной, их взаимодействие в буквальном смысле
аналогично взаимодействию частиц и описывается уравнениями Ньютона.
Солитон в поле "хвоста" другого солитона ведет себя, как шарик в желобе.
Например, для пары солитонов получается уравнение [16]
d2u/dt2 - v(S)f(u) = 0, (19.19)
404
Глава 19
где и - расстояние между максимумами солитонов, f(u) описывает силовое
поле хвоста одного солитона в месте расположения другого, v{8) -
зависимость скорости солитона от энергии. Уравнения, подобные (19.19),
при малости взаимодействия выводятся из исходных уравнений для волн путем
представления поля в окрестности каждого солитона (его параметры
считаются медленно изменяющимися) в виде асимптотического ряда с
использованием затем требования ограниченности слагаемых этого ряда.
Рис. 19.9. Столкновение ион- Рис. 19.10. Осциллирующая пара со-
но-акустических солитонов литонов
(N - концентрация частиц)
После того как аналогия "солитоны-частицы" установлена (т. е. получено
уравнение (19.19)), для описания взаимодействия солитонов достаточно
знать лишь вид силовой функции /(и), т. е. характер "хвостов" солитонов.
Предыдущая << 1 .. 874 875 876 877 878 879 < 880 > 881 882 883 884 885 886 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed