Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
пропорциональный (d2Lo/dk2)k2. Естественно, что это возможно лишь при не
слишком больших Ац: |Ац| < А;0. Согласно (20.16) параметрический
инкремент почти линейно растет с ростом |Ац| от нуля, затем достигает
максимума и довольно быстро падает до нуля при (fci{ -> к0, где к0 =
4|/l(ePw/dA;2)~1| |а0|2- Для коротковолновой модуляции (Л < 2тг/к0)
нелинейная расстройка не в состоянии скомпенсировать дисперсионное
расплывание, и углубления модуляции происходить не будет (инкремент
становится мнимым).
Явление самомодуляции читатель, возможно, наблюдал на море, глядя на цуги
ветровых волн. Это явление имеет отношение к объяснению поверья "девятого
вала" [13].
а0 = -ij3\a0\2a0,
а± = - - 2г(/3|ао|2 + {d2ui/dk2)k\/A)a±.
(20.15)
7 = ±ki[-(3\ао\2d2ш/dk2 - {d2ui/dk2)2k21/4}1^2. (20.16)
20.2. Самомодуляция. Возвращаемостъ
419
Нелинейная стадия развития модуляционной неустойчивости зависит от
асимптотики начального возмущения при |ж| -> оо. Если это возмущение
достаточно быстро спадает на бесконечности, то, как и для волновых
импульсов самого поля (их эволюция в одноволновом приближении описывается
уравнением Кортевега-де Вриза), начальный импульс волны модуляции
произвольной формы при t -> оо распадается на солитоны (это, конечно,
"радиосолитоны" - они с высокочастотным заполнением) и осциллирующий
"хвост". Как и для аналогичной задачи, описываемой уравнением КдВ, этот
"хвост" содержит мало энергии по сравнению с энергией, запасенной в
солитонах, и принципиален лишь при рассмотрении процессов взаимодействия
солитонов друг с другом (см. гл. 19). Число солитонов зависит от формы
начального профиля. Строго проблема эволюции локализованного в
пространстве начального возмущения решается с помощью метода обратной
задачи рассеяния [14]; здесь же мы приведем лишь решение уравнения (20.9)
в виде уединенных стационарных волн модуляции (волн огибающей)
а(х, t) = A sch
2d ш/dk
1/2 ч
А[(х - х0) - (v + V)t] > х
х ехр( i^-A2t
d?u)
dk2
[(x - Xq) - (v + V)t + фо] >, (20.17)
}•
где A - амплитуда солитона: V - его скорость в системе координат,
движущейся с групповой скоростью v; xq и ф0 - начальные координата и фаза
солитона. Это решение получается следующим образом. В (20.9) нужно
перейти к действительным переменным А и ф, затем, полагая, что амплитуда
и фаза движутся с постоянными скоростями V и Vy, соответственно (для
существования решения в виде солитона необходимо V > 2Уф [16]), получить
для них дифференциальные уравнения в обыкновенных производных. Эти
уравнения легко интегрируются и сводятся к одному уравнению нелинейного
осциллятора [15], решение которого и записывается в виде (20.13). Эти
уравнения помимо соли-тонного решения - импульса огибающей имеют еще
решение в виде уединенного провала - волны затемнения [15]. Предлагаем
провести интегрирование самостоятельно, обращаясь за справками в [16].
Подчеркнем, что в отличие от обычного солитона КдВ скорость и амплитуда
солитона огибающей являются независимыми параметрами. Экспериментально
появление таких солитонов и их взаимодействие друг с другом исследовалось
для волн на глубокой воде в работе [11].
420
Глава 20
¦ ЛАЛЛ/
Рис. 20.3. Волны модуляции на поверхности глубокой жидкости: а -
стационарные волны; б - явление возвращаемости
Если же начальное возмущение не локализовано в пространстве, а, например,
периодическое, характер его эволюции будет совершенно иной - нарастающие
в результате модуляционной неустойчивости синусоидальные волны модуляции
будут нелинейным образом искажаться: на периоде волны образуются одни или
несколько солитонов, но затем солитоны сглаживаются, и волна вновь
приходит в начальное состояние, потом все повторяется и т. д. Явление
возвращаемости наблюдалось экспериментально и для обсуждаемого нами
примера - гравитационных волн на глубокой воде [11, 17, 45].
Соответствующие численные результаты представлены на рис. 20.3 [11, 18,
19, 45]. На рис. 20.4 показаны результаты физических экспериментов с
нелинейными LC-цепочками, которые приближенно описываются уравнениями
типа КдВ с кубичной нелинейностью. При синусоидальном возбуждении цепочки
на границе наблюдалась почти полная возвраща-емость вдоль цепочки;
синусоида трансформировалась в периодическую последовательность
солитонов, т. е. возбуждалось большое число осцилляторов-гармоник, затем
солитоны вновь превращались в синусоиду - все гармоники возвращали
энергию первой гармонике. Впервые этот эффект в численном эксперименте
наблюдали Ферми, Паста и Улам [20]. Они пытались подтвердить гипотезу о
том, что в системах с очень большим числом степеней свободы наличия даже
слабой нелинейности достаточно, чтобы энергия, запасенная в отдельных
степенях свободы (модах), равнораспределилась по всем модам
(перемешивание) и таким образом установилось бы термодинамическое
равновесие (тер-мализация). Ферми, Паста и Улам экспериментировали с
моделями нелинейных линейных цепочек из большого числа частиц и
