Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Большое Красное пятно - это двумерный солитон Россби. В гл. 5 мы
познакомились лишь с линейными волнами Россби - волнами во вращающейся
атмосфере. Если при простейших идеализациях (атмосфера представляется
несжимаемой жидкостью, глубина которой много меньше характерных масштабов
возмущений, а угловая скорость вращения шо планеты достаточно велика)
учесть нелинейность, то для отклонения глубины атмосферы h = h(t, <?>, а)
от равновесного значения получается двумерное нелинейное уравнение
ft{I2h - г2ДД) - |^ (л + f) = 2u,o^[<Vb]VAfc, (19.27)
Н0 L -С R, где L - характерный масштаб возмущения, R - радиус планеты, /
= sin а (а - широтный угол), <?> - меридиональный угол, го - масштаб
Россби-Обухова. "о(~ sina) - скорость дрейфа Россби, вызванная
неоднородностью силы Кориолиса по широте, ? - единичный вектор вдоль
вертикали. Уравнение (19.27) имеет решение в виде двумерного солитона
[18]:
"(г, а)"1,б(Д) СЮ4/3 ||^[1 + ?(а-а0)]|, (19.28)
где L ~ го/г-1/2. Видно, что характерный размер (радиус) солитона L
превышает г о и уменьшается с ростом его безразмерной амплитуды h.
Скорость солитона примерно в 1 + /), раз больше скорости Россби j0. Если
зависимостью I от широты пренебречь, то солитон становится одномерным -
переменные меняются лишь в зависимости от г (расстояния в горизонтальной
плоскости до центра солитона).
Как видно из (19.28), чем меньше /о- тем больше скорость солитона и тем
больше его амплитуда и меньше размер солитона - вихря. Можно показать
[18]. что вращение вихря и направление его движения противоположны
направлению вращения планеты, т. е. это антициклон. Как и в антициклоне,
давление в середине вихря больше, чем на краях.
Подобный солитон недавно был смоделирован в лаборатории [19].
Исследовалась ""мелкая вода" во вращающемся вокруг вертикальной
408
Глава 19
Рис. 19.11. Солитон Россби: а - установившийся солитон: б - распад
начального возмущения на два солитона [19]
Рис. 19.12. Картина течений в тонком слое вращающейся жидкости при
наличии сдвига скорости: а - при циклоническом сдвиге: б. в - при анти-
циклоническом сдвиге. На фоне черного дна параболоида отчетливо видны
солитоны Россби [23]
оси симметрии цилиндре с параболическим профилем дна. Неоднородность дна
необходима для имитации эффектов, связанных с градиентом силы Кориолиса1.
Параболический профиль сосуда определяется тем,
1Как известно [20], если глубина атмосферы не зависит от географических
коор-
19.4. Неодномерные солитоны
409
что только в параболоиде (при постоянной скорости вращения) удается
реализовать вращающийся слой жидкости, глубина которого не зависит от
координат, и изучать дрейф солитонов при Н0 = const. На рис. 19.11
приведены некоторые результаты очень интересной работы [19]. Ее авторами,
в частности, было обнаружено, что в тонком слое равномерно вращающейся
жидкости действительно могут существовать долгоживущие солитоны - вихри
типа (19.28), проходящие без расплывания за время жизни, определяемое
вязкостью, расстояние, на порядок большее их параметра. Замечательно, что
если созданное вначале возмущение слишком велико, то оно затем
распадается на несколько более мелких (зональных) течений (рис. 19.116).
Подчеркнем, что подобные солитоны могут возникнуть самопроизвольно
благодаря развитию собственной неустойчивости в системе. Так, в недавних
экспериментах [23] было обнаружено, что неустойчивость Кельвина-
Гельмгольца, связанная с наличием перегиба скорости в профиле течения,
может привести к генерации антициклонических солитонов Россби (рис.
19.12). Эти солитоны дрейфуют против направления вращения системы. По
свойствам и условиям существования такой солитон подобен Большому
Красному пятну Юпитера [23. 29].
динат. то волны Россби (в том числе и интересующие нас солитоны)
возникают и существуют только благодаря широтному градиенту силы
Корполпса. Именно этот градиент вызывает вихревое движение частиц среды,
дрейфующее против направления вращения планеты.
Глава 20
Модулированные волны в нелинейных средах
20.1. Общие замечания
Практически всякие колебания и волны модулированы. Модуляция по
определению есть медленное изменение параметров "несущей" - амплитуды,
фазы, частоты и даже формы колебаний или волн. Она может быть связана с
воздействием внешних сил или полей (вынужденная модуляция), а может
возникать самопроизвольно в результате развития разного рода
неустойчивостей (самомодуляция или автомодуляция). Мы уже знаем примеры и
вынужденной модуляции, и са-момодуляции. Изменение длины волны и
амплитуды квазигармоничес-кой волны в плавно неоднородной среде -
вынужденная модуляция, определяемая законом "модуляции" параметров среды
в пространстве. Возникновение вне полосы синхронизации биений и
автогенераторе, на который подается периодический сигнал, - пример
модуляции, обязанной своим происхождением взаимодействию немодулировапных
колебаний. На плоскости медленных амплитуд такой модуляции соответствует,
