Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
приближением; в итоге получим
C"(U) dU _ RC&U __ LlCd3U
9U _ г dl
dx dt
С dt ~ dt2 dt3
При /и 1 будем искать решение в виде волны, в которой U и I связаны, как
и в линейной среде: I = y/C/LU. Подставив связь I=y/CjLU, для бегущей
вправо волны найдем уравнение
dU 1 эи
dt л/LC дх
Сн (U)du RCd2U LiCd3U
С dt
dt2
dt3
Это уравнение обычно записывают в иной форме - в уравнении нулевого
приближения, т. е. в уравнении простой волны, д/dt заменяют на -(1
/VLC)d/dx, что дает
dU/dt + V0 dU/dx + v(U)dU/dx - v d2U/dx2 + /3 d3/dx3 = 0.
Наконец, переходя в движущуюся со скоростью Vo = (LC)-1/2 (tH - t. хн = х
- Vot) систему координат, находим
dU/dtH + v(U)dU/dx" - vd2U/dx\ + (3 d3U/dx\ = 0.
В нашем случае v(U) = -цЦ>Сн(и)/С, v = /j.V0RC, [3 = (J-VoLiC. Полученное
уравнение совпадает с эталонным уравнением (19.1) одноволнового
приближения.
19.1. Структура разрыва
391
В предыдущей главе мы установили, что в нелинейной среде без диссипации и
дисперсии происходит непрерывное увеличение крутизны профиля
распространяющейся волны и образование разрыва - области бесконечно
быстрого изменения физических величин во времени и пространстве [1-3].
Чтобы разрыв сохранялся в процессе распространения волны, как мы видели,
необходима диссипация энергии на разрыве, обеспечивающая необратимость
процесса нелинейной эволюции. На спектральном языке это означает
направленность потока энергии в область высоких частот, в которой
существенны потери энергии.
Таким образом, лишь благодаря высокочастотной диссипации разрыв может
быть устойчивым. Выясним, пока качественно, как влияет на разрыв
дисперсия.
Фазовая скорость генерируемых нелинейностью гармоник даже при слабой
дисперсии несколько отличается от скорости основной волны. Для достаточно
высокого номера гармоники это различие оказывается столь сильным, что она
уже не будет в резонансе с собственной волной среды и ее амплитуда
остается малой (пропорциональной нелинейности). Участие такой волны в
процессе пренебрежимо мало, и спектр нелинейной волны в результате
оказывается ограниченным. На пространственно-временном языке это означает
то, что ширина области быстрого изменения поля будет конечной. Таким
образом, дисперсия также ограничивает ширину разрыва.
Естественно, что при ограниченном числе гармоник, образующих нелинейную
волну, в среде без дисперсии уже невозможен необратимый процесс
деформации профиля волны. Энергия, запасенная вначале (при t = 0 или при
х = 0) в первой гармонике, переходит в энергию конечного числа гармоник.
Затем ввиду консервативности системы она собирается обратно, после чего
вновь передается гармоникам и т. д. (предполагается, что хаотизации фаз
гармоник и необратимого перемешивания не происходит - об этом речь
впереди). Таким образом, деформируемая в результате действия нелинейности
синусоидальная волна в процессе распространения должна восстанавливаться,
затем ее профиль вновь искажается, после чего все повторяется.
Однако при определенных соотношениях между амплитудами и фазами
взаимодействующих гармоник обмена энергией между ними может не
происходить (в соответствующем фазовом пространстве это-состояние
равновесия). С подобными решениями мы встречались, например, при анализе
взаимодействия синусоидальной волны и ее второй гармоники в
слабонелинейной среде (см. гл. 17). Такому спектральному равновесию в
реальном ^-пространстве соответствует волна, профиль
392
Глава 19
которой не меняется в процессе распространения. Это - стационарная полна.
Скорость V распространения стационарной полны постоянна, поэтому решения
в виде стационарных ноли описываются уравнениями в обыкновенных
производных, аргументом в которых служит бегущая координата ? = х - Vt.
Стационарные волны - весьма частный класс решений, однако их роль в
теории нелинейных волн чрезвычайно велика. Это связано, конечно, и с
простотой их отыскания (интегрирование уравнений не в частных, а в
обыкновенных производных), и, что более важно, с тем, что волны, близкие
к стационарным, возникают в результате эволюции широкого класса
нестационарных возмущений. Причем такая устойчивость стационарных волн
характерна не только для систем с диссипацией, но и для консервативных
систем; замечательный пример этому - устойчивость солитонов. Добавим,
что, зная решения в виде стационарных волн, можно исследовать и
нестационарные, но локально (во времени и пространстве) близкие к ним
решения [4-6].
Вернемся теперь к основной модели (19.1) и исследуем качественно
возможные решения при наличии потерь в среде v ф 0. Диссипация, как уже
говорилось, делает процессы необратимыми.
Ясно, что при очень малых потерях {v -С ft) решения уравнения (19.1)
изменятся мало но сравнению с консервативным случаем. Диссипация (как и
дисперсия) приводит к некоторому расплыванию профиля волны и в конечном
итоге может уравновесить нелинейное увеличение крутизны профиля. При этом
разрыв приближенно можно считать стационарным: он распространяется с
