Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
теперь случаем, когда модуляция частоты невелика, и введем относительную
расстройку ? от основной частоты ш0 : ? = (ш - шо)/шо. Тогда, переходя в
движущуюся систему координат т = t - x/v, \ = xi из (20.5) найдем (прямой
подстановкой и разложением у(ш) в ряд)
85/дх + S дд/дт + ха дтп/дт = 0, (20.6)
где 5 = ?ш сРк/йш2, х = v <Рк/4ш2, тп = А2. В уравнении (20.6) опущено
слагаемое абдтп/дт, поскольку оно более высокого порядка малости по
20.1. Общие замечания
413
сравнению с оставленными. Чтобы получить уравнение для тп, необходимо
использовать явные выражения для энергии и потока энергии волны в
нелинейной среде. Поскольку мы ведем речь о волнах малой амплитуды, в
общем случае справедливо разложение W в виде ряда W = = ((w)A2 + Ci{ш)А4
+ ... (аналогично для S), и уравнение переноса энергии (20.2) можно
представить в форме
vdm/dx - д(5т)/дт + (1/2 )(дтп2/дт = 0, (20.7)
где при малой модуляции частоты параметр С можно считать постоянной
величиной. Уравнения (20.6), (20.7) описывают распространение волн
модуляции при сделанных предположениях.
Уже из уравнения (20.7) сразу видны некоторые особенности такого
распространения. Пусть дисперсии в узком спектральном интервале вблизи wo
нет1. Тогда d2k/dw2 = 0, т. е. <5 = 0, и (20.7) - это хорошо знакомое нам
уравнение простой волны (см. гл. 18), решение которого тп = m(t - х/и),
где и = (тп + v. Таким образом, в рассматриваемом приближении малое
возмущение огибающей эволюционирует как простая волна [15] и возможно
образование области быстрого изменения модуляции (рис. 20.1)
(опрокидыванию волны модуляции препятствует дисперсия ~ d2k/dw2, которой
мы пренебрегли).
Из уравнения (20.6) нетрудно увидеть и то, что амплитудная модуляция в
слабонелинейной среде порождает частотную.
Вообще внимательный читатель уже, наверное, заметил, что уравнения
(20.6), (20.7) напоминают одномерные уравнения газодинамики ((5 играет
роль скорости в звуковой волне, am - роль плотности). Принципиальное
отличие состоит в том, что в нашем случае величина ха, играющая роль
квадрата скорости звука (с2 = dp/dp; см. гл. 5), может быть отрицательной
(если бы такую "среду" удало создать, то с ростом давления ее плотность
бы уменьшилась). При ах > 0, как и в газодинамике, уравнения (20.6) и
(20.7) имеют решения в виде двух семейств простых волн - быстрых и
медленных. У быстрых волн растет крутизна переднего фронта, у медленных -
заднего (опрокинуться, как уже замечалось, волна модуляции не может;
просто станут неприменимы наши уравнения). Если же ах < 0, то скорости
волн становятся комплексными (убедитесь в этом самостоятельно на примере
волн модуляции малой амплитуды, которые описываются линеаризованны-
1 Вообще же существование дисперсии в среде, конечно, предполагается -
это и дает возможность нам не учитывать гармоники (они не в синхронизме с
основной волной).
414
Глава 20
Рис. 20.1. Эволюция простой волны огибающей при распространении в
нелинейной среде (flv'k > 0)
ми уравнениями (20.6), (20.7)). Ответом на вопрос, что ото означает и
каким физическим явлениям соответствует, мы и займемся.
20.2. Самомодуляция. Возвращаемость
Поставим простой эксперимент - на границу LC-линии передачи (см. рис.
4.6, где следует считать Q(U) = С0 + CHU3) подадим синусоидальное
колебание, частота которого лежит в области сильной дисперсии ш(к) (см.,
например, пологую часть дисперсионной кривой рис. 4.8), т. е. возникающие
из-за нелинейности гармоники не находятся в синхронизме с основной волной
(следовательно, не нарастают). Какое колебание мы будем наблюдать на
выходном конце линии? Ответ в виде осциллограмм представлен на рис. 20.2
- колебания оказываются модулированными [8]. Это и есть упоминавшееся во
введении явление самомодуляции - модуляция возникает в результате разви-
20.2. Самомодуляция. Возвращаемостъ
415
Рис. 20.2. Самомодуляция волны в нелинейной линии передачи при /3vk < 0
[15]
тия вдоль линии передачи параметрической неустойчивости, которая в данном
случае приводит к появлению волн-сателлитов с близкими к несущей
частотами. Именно этой неустойчивости и соответствует комплексность
скоростей распространения волн модуляции, о которой мы только что
говорили. Подобную разновидность параметрической неустойчивости (на языке
гл. 11 - это вторая зона неустойчивости) в теории нелинейных волн
называют модуляционной неустойчивостью.
Чтобы описать модуляционную неустойчивость и родственные ей явления, мы
обратимся к основному уравнению теории модулированных волн в нелинейных
средах - нелинейному параболическому уравнению, или нелинейному уравнению
Шредингера; оно включает в себя уравнения (20.6), (20.7) как частный
случай:
416
Глава 20
Здесь а - комплексная амплитуда ехр[-i(ut - кг)] волны; к - ее волновое
число; Д_)_ - лапласиан по поперечным координатам у, z; ?"(|а|2)
характеризует вид и величину нелинейности среды. Например, для световых
волн - величина, пропорциональная нелинейной поправке к показателю
