Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
постоянной скоростью, почти не меняя формы.
Учет высокочастотных диссипации н дисперсии позволяет исследовать
характер изменения поля на фронте ударной волны, т. е. структуру разрыва,
в рамках приближения стационарной волны. Поскольку вне ударного фронта
все переменные в среде меняются очень медленно, можно считать, что они
вообще остаются постоянными, т. е. этим значениям соответствуют состояния
равновесия на фазовой плоскости системы обыкновенных дифференциальных
уравнений, описывающей стационарные волны. Тогда задача исследования
структуры фронта ударной волны сводится к нахождению той единственной
фазовой траектории, которая соединяет эти состояния равновесия.
Если в уравнении (19.1) перейти к бегущей координате ? = х - Vt. то
поскольку du/dt - ~V du/dt и du/dx = du/dt- т. е. du/dt = = -V du/dx = -
V d,u/d?, при v(u) = и получим
ft d2u/di2 - v du/dt = Vu - u2/2. (19.2)
19.1. Структура разрыва
393
Модель (19.2) можно рассматривать как нелинейный осциллятор с затуханием,
где ? - аналог времени, а и - координата материальной точки. Уравнение
потенциальной "ямы" имеет вид W(и) = - Ии2/2+ + и3/6. Состояния
равновесия находятся в точках Moi = 0 и Мог = 2V. Для определения типа
состояний равновесия составим характеристическое уравнение (Зр2 -vp+ (и0
- V) - 0 (предполагалось, что и - и0 + + и'. и' ~ ехр(р?)). Отсюда
состояние равновесия uoi - седло, а ц02 - узел при v2 - 4/3V > 0 и фокус,
если v2 - 4(3V < 0. Фазовые портреты для различных значений v и
соответствующие им изменения поля на фронте ударной волны приведены на
рис. 19.2. Зависимости и от ? на всей оси ? получаются из аналогии модели
(19.2) с нелинейным осциллятором [6]. Решение начинается при ? ->¦ оо,
затем материальная точка, попав в потенциальную "яму", колеблется в ней с
затуханием, пока не достигнет значения и = 2V при ? -" - оо.
Рис. 19.2. Вид "потенциальной ямы", фазовые потреты и картины
распространения ударных волн для разлиных значений я: а - v -С /3 - в
волне нелинейных осцилляций; б - v а !}¦. в - v /9 -- ударная волна без
осцилляций
Проанализируем структуру разрыва не в рамках модели (19.1), а
непосредственно для среды, эквивалентная схема которой приведена на рис.
19.3. По определению ударной волны длительность фронта мала по сравнению
с характерными временными и пространственными масштабами изменения
напряжения н тока (которые зависят от среды) вне резкого перепада в ее
профиле. Это позволяет разделить "быстрые"
394
Глава 19
и "медленные" движения и, выделив область быстрого изменения
соответствующих величин, исследовать структуру этой области (структуру
фронта ударной полны), считая волну стационарной [6-8]. Исходными для нас
будут телеграфные уравнения
dU/dx = -дФ/dt, 81/д х = -dQ/dt, (19.3)
где /, U, Ф и Q - ток, напряжение, погонный поток
индукции и погон-
ный заряд в линии. Связь между этими величинами в общем случае выражается
интегродифференциальными уравнениями типа
Q = Q(U,I), Ф = Ф(1,и). (19.4)
Будем считать, что поток Ф связан с током квазистатически (рис.
19.36),
и, следовательно, дисперсия определяется индуктивностью L на рис. 19.3а.
Для этой схемы U = Q/C + R dQ/dt + L d2Q/dt2.
Ф(/)
Рис. 19.3. Эквивалентная схема линии передачи с временной дисперсии (а) и
зависимость Ф(7) (б)
Перейдем в систему координат, движущуюся со скоростью разрыва vp. Тогда
все величины зависят лишь от одной переменной ? = = х - Vpt, a 81/дх =
d//d?, dQ/dt = -vp dQ/d?, т. e. из (19.3) следует, что
di/di = vp dQ/d?, (19.5)
dU/di = vp d^/di, (19.6)
U = Q/C + Rvp dQ/dt + Lvl d2Q/di2. (19.7)
Дифференцируя (19.7) по ? и используя (19.5) и (19.6), находим
LCvp d3I/d?3 + RCvp d2I/di2 + d//d? - Cv* d$/d? = 0. (19.8)
19.1. Структура разрыва
395
Проинтегрируем (19.8) по ? от -оо до ? - текущей координаты внутри
области разрыва. Тогда окончательно получим
LCv2p d2I/d(2 - RCvр c/7/d? +
+ {(I-h)~ Су2рЩ1) - Ф(Д)]} = 0, (19.9)
где /(-оо) = Ii, 7(?) = 7. Координаты состояний равновесия и скорость
перемещения разрыва г;р связаны условием
vl = (h - 71)/{С'[Ф(72) - Ф(Л)]}. (19.10)
Это уже известное нам граничное условие на разрыве (ср. (18.27)).
Оно допускает простую графическую интерпретацию (рис. 19.36):
tga = l/(Cvp), где а - угол наклона прямой, соединяющей точки 1 и 2 по
разные стороны от перепада кривой Ф = Ф(7). Соответствующее (19.9)
характеристическое уравнение при условии R = 0 имеет вид
AV + 25р + (1 - Cvl&j) = 0, (19.11)
где h2 = LCvр, 26 = RCvp, Ф^ = дФ/д1. Особая точка I = 1Х = 0 - всегда
седло (Ф^ > l/Cvp), она соответствует "основанию" волны. Особая точка I =
h, соответствующая "вершине" волны, - либо фокус, когда Ф j < l/(Cvp),S2
< h2( 1 - Сг>рФ/), либо узел, когда Ф^ < l/(Cv2), S2 > h2( 1 - Cv^'j).
Когда диссипации нет, т. е. R = О, то из (19.8) имеем
LCvl d3I/d(,3 + di/di - Cvl <№/d? = 0, h2d2I/di2 +1- Су2рФ(1) = const.
Если представить зависимость Ф(7) двумя параболами, то получим, что Ф(7)
-)¦ 72 и
h2d2I/di2 = -7 + Cv^I2,
