Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим в заключение этого параграфа, что эффект возвращаемос-ти
наблюдается и в более сложных ситуациях, например когда модулированные
высокочастотные волны взаимодействуют с низкочастотными. На рис. 20.6
приведены результаты эксперимента [23] по взаимодействию таких волн в
линии передачи. Описывающие эту "среду" усредненные по быстрым
осцилляциям уравнения аналогичны уравнениям для ленгмюровских и ионно-
звуковых волн в плазме [24]:
да _ i " д2а ,, д2а
о. О о 2 О Р - 1 п 9 1
dt 2 Qx2 2 дх2
д2п _ 2д2п _ >^2la|2 , с^4п д3п dt2 дх2 dt2 dt4 2 dx2dt
(20.20)
Здесь а - амплитуда высокочастотной (ленгмюровской) волны; п
характеризует поле низкочастотной (ионно-звуковой) волны; и>р - = - l[Ci
+ СгДЬгС^Сг)]1/2 - частота, вблизи которой проведено ус-
л tyr-1 /д2
реднение; а = ~uJprD (где rD = 2 2-); с = [Li(Ci + С2)]_1/2 - ско-
* 3CWP
рость низкочастотной волны; ? = c2/ci; <5 = r2D/l2 (где I - характер-
ный размер высокочастотных волновых пакетов); vx = (#/2)y47i/L2 и^ =
RC1/2L1C2 характеризуют затухание волн.
В этом эксперименте на границе "полубесконечной" линии (линии из 50
ячеек, согласованной на конце) возбуждались монохроматическая
"ленгмюровская" (с частотой и>) и "ионно-звуковая" (с частотой О) волны.
В процессе распространения ленгмюровская волна становилась модулированной
- возникало несколько десятков сателлитов, затем в зависимости от
соотношений ш/шр и f1/и>р устанавливался либо режим стационарного
распространения ленгмюровских солитонов (рис. 20.6а), либо режим,
соответствующий возвращаемости - происходил периодический обмен энергией
между сателлитами и несущей (рис. 20.66). В этой системе наблюдались и
более сложные режимы непериодического обмена энергией, к обсуждению
которых мы вернемся в гл. 23.
20.3. Самофокусировка
Обратимся теперь к обсуждению эволюции неодномерной модулированной волны
в рамках уравнения (20.1). Для волн модуляции малой амплитуды (а ~
ехр[г(Ш - кх - kj_r)]) получаем, линеаризуя (20.1),
20.3. Самофокусировка
425
гдее"(|а|2) = -/?|а|2, закон дисперсии Cl(k, k±) = vk ±
V 7.2 , 1 (Рш 1 2
2k, 1 2 dk>
1/2
(20.21)
(f2, к и k± - частота, продольное и поперечное волновые числа волн
модуляции), из которого в частном случае плоских волн получается уже
известный нам инкремент модуляционной устойчивости (20.12). Сейчас,
наоборот, мы для простоты будем считать, что одномерные возмущения
отсутствуют, т. е. к = 0. Тогда из (20.21) при /3 < 0 следует, что для
всех
k2±<4\/3\\a0\2k0/v (20.22)
величина П(к±) оказывается чисто мнимой - неодномерные возмущения с
частотой, равной частоте заполнения, нарастают вдоль направления
распространения. Физически это проявляется следующим образом: если на
границу нелинейной среды, диэлектрическая проницаемость которой растет с
ростом интенсивности поля (для определенности мы говорим об
электромагнитных волнах), подать плоскую волну частоты и0, то в процессе
распространения волна превращается в периодическую в поперечном
направлении систему волновых пучков. Это и есть явление самофокусировки
[25, 26]. Иными словами, неустойчивость, приводящая к самофокусировке, -
это стационарный пространственный вариант параметрической неустойчивости
или распада пары квазичастиц, находящихся в одном состоянии, на пару
квазичастиц той же энергии с различными направлениями импульсов 2ко -4-
кх + к2 + + Дк(|а|2) (рис. 20.7).
Как видно из (20.22), самофокусировка начинается лишь при условии, что
амплитуда (или мощность) входящей в нелинейную среду волны конечной
апертуры превышает некоторое критическое значение. Например, для
цилиндрических возмущений радиуса R самофокусировка начинается, лишь
когда мощность энергии, заключенная внутри окружности радиуса R. больше
величины PKp ~ a^R2 = n2v/(ко\/3\). Очевидно, что если бы мы говорили о
безграничной в поперечном направлении волне, то условие (20.22) просто
означало бы, что при малых |ао|2 нарастают лишь возмущения очень больших
поперечных масштабов. Но реальные пучки имеют конечную ширину, поэтому и
появляется порог по амплитуде, определяемый (20.22), - размер возмущений
не может быть больше размеров пучка.
426
Глава 20
Рис. 20.7. Распад пары квазичастиц с импульсом ко на пару с той же
энергией и импульсами кх, кг в самофокусирующей среде
Подобно тому, как для пространственно-временных пакетов,
распространяющихся в одномерной слабонелинейной среде, дисперсия
оказывала стабилизирующее действие и в результате могли устанавливаться
стационарные волны модуляции, в случае развития неодномерных возмущении
нелинейной фокусировке волны поперек направления распространения в
принципе может воспрепятствовать дифракционное расплывание (описываемое в
(20.8) слагаемым, пропорциональным Д_|_а). В результате совместного
действия дифракции и нелинейности становится возможным существование
стационарных сфокусированных волновых пучков [27]. Такие пучки, например
цилиндрические волноводы, представляют собой чрезвычайный интерес с
