Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если функция f(u) монотонна, то солитоны отталкиваются либо
притягиваются. Большинство найденных точных решений иллюстрирует
отталкивание солитонов. Если же солитоны имеют осциллирующие "хвосты",
как, например, солитоны капиллярногравитационных волн на мелкой воде или
в нелинейной искусственной линии передачи с индуктивной связью между
звеньями, то функция f(u) знакопеременна и солитоны то отталкиваются, то
притягиваются, образуя осциллирующую пару (связанное состояние; рис.
19.10).
Аналогичным образом могут быть рассмотрены процессы взаимодействия и
большого числа однотипных солитонов, поскольку характер "хвостов" не
зависит от числа находящихся на нем солитонов.
Добавим, что эта аналогия между нелинейными волнами и колебаниями уже не
столь тривиальна, как обсуждавшиеся нами ранее модо-вые аналоги.
19.4. Неодномерные солитоны
405
19.4. Неодномерные солитоны
Мы рассмотрели лишь простейший пример солитонов - либо одномерные
стационарные уединенные волны в одномерных распределенных системах
(линиях передачи), либо плоские волны, профиль которых меняется лишь
вдоль направления распространения (например, солитоны на мелкой воде,
описываемые уравнением Кортевега-де Вриза). В то же время очевидно, что и
на мелкой воде, и на стекающей пленке жидкости (см. гл. 24), и при
распространении ионно-звуковых солитонов в плазме солитоны и
солитоноподобные решения в общем случае должны зависеть еще и от
поперечной координаты, т. е. должны быть, как минимум, двумерными.
Простейшей из моделей, в рамках которых описываются подобные солитоны,
является обобщение уравнения Кортевега-де Вриза, предложенное Кадомцевым
и Петвиашвили:
Уравнение Кадомцева-Петвиашвили может быть получено, например, для
потенциальных акустических волн в предположении слабой дисперсии и
нелинейности из волнового уравнения1
Здесь ip - потенциал скорости, с - скорость звука в среде, /3 ~ D2c2
характеризует дисперсию (D имеет смысл длины расплывания волнового
пакета). Знак дисперсии может быть как положительным (/3 > 0), так и
отрицательным (/3 < 0). Будем интересоваться волнами, профиль которых
становится круче под действием нелинейности. Такое изменение профиля
происходит лишь в направлении распространения, поэтому зависимость от
остальных координат (rj_) можно считать медленной, т. е. искать решение в
виде
Подставляя (19.22) в (19.21) и оставляя лишь слагаемые первого порядка
малости (порядка нелинейности и дисперсии), получаем
(19.20)
d2p/dt - с2 Ар = -(ЗА2р - д(Ар)2 /dt. (19.21)
р яа р(х - ct, r_i_, t).
(19.22)
2
(19.23)
1Для сред с диссипацией стпль же универсальным является уравнение для
волновых пучков - уравнение Хохлова-Заболотской [24].
406
Глава 19
Это уравнение совпадает по виду с (19.20), если положить и = dip/dx:
fc(& + -E-E0) = - §А- <19-24>
Уравнение (19.24) имеет решение в виде одномерного солитона:
(19.25)
- ь-
"о = - ch
2сД
1 (Х+ *
2Д V 2сД2
который характеризуется шириной ~ Д (|/3|/Д2 -С с2 - условие применимости
уравнений (19.21), (19.24)) и скоростью /3/(2сД2). Решение (19.25)
описывает стационарную волну в системе отсчета, движущейся вдоль х со
скоростью звука с. Поэтому при положительной дисперсии (/3 > 0) солитон
движется с дозвуковой скоростью и имеет отрицательную амплитуду. Если же
/3 < 0, то амплитуда солитона положительна, а скорость превышает скорость
звука.
Знак дисперсии в данном случае определяет и устойчивость одномерного
солитона к неодномерным возмущениям [17] - при /3 > 0 неодномерные
возмущения нарастают, при /3 < 0 одномерный солитон устойчив. Строго
результат об устойчивости одномерного солитона в модели Кадомцева-
Петвиашвили доказывается методом обратной задачи [22]; мы здесь лишь
поясним этот результат с помощью самых простых соображений. Линеаризуя
(19.24) вблизи тривиального решения, находим, что фазовая скорость
квазигармонических неодномерных возмущений с волновым вектором k(fcj_,
кх) равна
гФ (к) = с(к±кх)2/2 + (3к2х/2с.
Видно, что в среде с положительной дисперсией скорость возмущений всегда
больше скорости солитона, т. е. он должен отдавать энергию обгоняющим его
малым двумерным возмущениям среды ¦- это и объясняет неустойчивость
солитона в среде с /3 > 0. В случае же /3 < 0 колебания солитона затухают
за счет излучения отстающего от него звука - в среде с отрицательной
дисперсией солитон устойчив по отношению к неодномерным возмущениям.
Приведем здесь точное решение уравнения (19.24) в виде двумерного
солитона, полученное вначале численно, а затем аналитически [17]. Для
этого уравнение (19.24) для стационарных решений перепишем в безразмерной
форме (? ~ х, г) ~ у):
dl(tm) + dhi _ X д^и _ X &L 2 (19 26)
д? дг? 12 ^С4 - 12 аС2 ' 1 j
19.4. Неодномерные солитоны
407
Тогда двумерный солитон дается выражением
"(С, v) = 8(1 + 4Ч2 - 4С2)/(1 + 4т?2 + 4С2)2.
Заметим, что сейчас высказываются весьма убедительные предположения, в
соответствии с которыми замечательная особенность атмосферы Юпитера - его
