Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
разрыва:
h - h = vp[Q(U2) - Q(Ui))], и2-иг= Lvp(I2 - h).
Полагая, что "амплитуда" разрыва известна (например, равна амплитуде
запущенной в линию начальной волны) , найдем скорость распространения
разрыва:
у2р = (U2 - C/1)i-1[<?(t/2) - Q(tfi)].-1. (18.27)
18.4. Слабые ударные волны. Граничные условия на разрыве
387
Аналогично получаются, например, граничные условия на разрыве,
появляющемся при распространении плоской электромагнитной волны в
полупространстве, заполненном ферритом с зависимостью магнитной индукции
от поля В(Н), как на рис. 18.8а:
Е2-Е1 = (vp/c)(B2 - Вт), Н2-Н1 = (vpe/c)(E2 - Ej) (18.28)
(е - диэлектрическая проницаемость среды, с - скорость света) [10].
Рекомендуем читателю получить эти выражения самостоятельно.
Рис. 18.8. К расчету энергии, диссипируемой на фронте ударной волны: а -
нелинейная характеристика среды, соответствующая эволюционному разрыву; б
- потери энергии за время At.
Поскольку малые возмущения перед разрывом движутся медленнее разрыва (для
определенности мы говорим о ситуации, когда разрыв образуется на переднем
фронте волны), т. е. разрыв догоняет и поглощает их, а двигающиеся за
разрывом догоняют его (и также исчезают на нем), полная энергия волны с
разрывом должна со временем уменьшаться. Другими словами, разрыв может
устойчиво существовать, лишь если он диссипирует энергию. Покажем это на
уже упоминавшемся примере с плоской электромагнитной волной в нелинейной
среде, заполненной ферритом.
Закон сохранения энергии в диэлектрическом объеме запишем в
виде +divS = 0, где S = -?-[ЕН]. a dW = -^-(Е dD + Н ДВ). Без
dt 47Г L J 47Г
ограничения общности можно считать, что поля перед разрывом равны нулю
(рис. 18.86). Рассмотрим изменение энергии в области разрыва за время At.
Для этого запишем баланс энергии в заштрихованном объеме
В
v,
а)
б)
388
Глава 18
на рис. 18.86. Запасенная энергия
2 Во
о
поступившая энергия
Wn = (с/4тг)Е0Н0М = (47г)-1ЯоВо^рД"-
Мы здесь учли граничное условие на разрыве Е0 = (vp/c)Bq.
Воспользовавшись соотношениями
Во Н0 2
J HdB = Н0 В о - j BdH, ^ = |я0Во,
О О
находим, что
я0
Wn ~ Ws = ^ {1ВШ~ 1НоВ°) • (18-29) о
Легко сообразить, что если функция В(Н) (рис. 18.8а) является выпуклой,
то эта разность всегда будет положительной. Диссипируемая на разрыве
мощность
я0
P=^(f ВШ-±Н0Во),
или в общем случае я2
Р = g [ J В dH - \{Н2 - НХ)(В2 - Вг)
я 1
в.
Vpr~
4-7Г
\{Н2 - Н1)(В2 - В,) - J HdB
в г
В принципе можно построить и такое разрывное решение исходных нелинейных
уравнении, на котором диссипации энергии происходить не будет, но тогда,
как сравнительно просто показать, разрыв будет неустойчивым [12, 13]. Все
разрывы, возникшие в результате опрокидывания простои волны (математики
их называют эволюционными), устойчивы, и на них диссипация энергии
положительна.
Глава 19
Стационарные ударные волны и солитоны
19.1. Структура разрыва
Что будет после того, как на профиле простой волны возникнут бесконечные
градиенты? В разных физических ситуациях ответ различен. Например, если
это волна на поверхности жидкости, то она просто обрушится, превратившись
в брызги; если это поток невзаимодействующих частиц, то в профиле волны
возможна неоднозначность - после образования "разрыва" в основном потоке
образуется несколько разных потоков, движущихся с существенно разными
скоростями (многопотоковость). Для звукового же или электромагнитного
поля, где неоднозначность недопустима, дальнейшее развитие нелинейной
волны зависит от того, какие эффекты будут преобладать в области быстрого
изменения поля - диссипативные или дисперсионные. Анализом бегущих волн в
нелинейных средах с диссипацией и дисперсией мы сейчас и займемся.
Когда диссипативные, нелинейные и дисперсионные добавки в исходных
уравнениях, описывающих распространение волн, одного порядка величины и
малы по сравнению с линейными членами, нетрудно, воспользовавшись методом
возмущений, получить уравнение одноволнового приближения
du/dt + v(u)du/dx + /3 d3u/dx3 - и d2u/dx2 = 0. (19.1)
Частными случаями этого уравнения являются уравнения Кортевега-деВриза
(при v - 0) и Бюргерса (при /3 = 0)- канонические уравнения теории
нелинейных волн (см. гл. 18). Многие результаты этой главы будут получены
именно для уравнения (19.1).
Начнем с рассмотрения "среды"-модели линии передачи типа изображенной на
рис. 18.4а, но с добавлением в нее элементов, позволяющих учесть
дисперсию (цЬх) и диссипацию {цЩ- Получившаяся эквивалентная схема
приведена на рис. 19.1. Исходными служат теле
390
Глава 19
PQJLU):
графные уравнения |p.R dl/dx = -dQ/dt - fiCHdU/dt,
<7" = dQ"/dU, dU/dx = -L dl/dt,
-1
<5/(7 + fiR dQ/dt + Atii d2Q/dt2 = ?/.
Рис. 19.1. валентная линии передачи - модель нелинейной среды с
диссипацией и дисперсии
Экви Перепишем последнее уравнение в виде схема
dQ/dt = С dU/dt - n{RC d2Q/dt2 + LXC d3Q/dt3)
и, предположив далее, что fj, <§; 1, воспользуемся этим. При fi -" 0
dQ/dt = С dU/dt, т. е. при /х <С 1 можно в скобках заменить dQ/dt нулевым
