Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
основании можно предположить, что переменные в волне будут связаны
функциональной зависимостью, т. е. h = h(V). Учитывая это, вместо (18.15)
получаем
w vdV dhdV= о dh(dV vdv\ hdV=Q dt dx gdV dx ' dV \dt dx) dx
Откуда следует, что V +gdh/dV = V+h/(dh/dV), или dh/dV = Ал/hjg. Таким
образом, вместо двух уравнений системы (18.15) получили одно:
dV/dt + {V± у/gh)dV/dx = 0. (18.16)
Из (18.16) находим, что скорость и = V ± y/gh. зависит от высоты точки на
профиле волны. Совершенно аналогично получается уравнение,
18.2. Бегущие волны в нелинейной среде без дисперсии
381
описывающее распространение звуковой волны в газе [9]. Исходными в этом
случае являются уравнение Эйлера
dv/dt + (vgrad)v + р-1 gradp = О
и уравнение неразрывности
dp/dt + div(pv) = О,
которые в одномерном случае и с учетом того, что dp/dp = свв (сзв -
скорость звука), переходят в систему
du , du сзв dp dp Я , , .
at +"ai + T& = 0' " + ai<',") = 0' (18Л7)
Умножая первое уравнение из системы (18.17) на dp/du и вычитая полученное
уравнение из второго уравнения системы, находим, что c3Bdp/du = ±р. С
учетом последнего из (18.17) имеем
du/dt + (гг ± c3B)du/dx = 0. (18.18)
Легко видеть, что (18.18) совпадает с (18.5), если перейти в систему
координат, движущуюся со скоростью звука.
Уравнение, аналогичное (18.18), получается и для длинноволновых
возмущений типа ионного звука в плазме с горячими электронами, если из-за
большой электро- и теплопроводности считать электронную температуру
плазмы постоянной. Тогда из уравнений (5.90)-(5.92) получаем следующие
уравнения для распространения волн в такой плазме:
dv/dt + v dv/dx + c\Bn~l dn/dx = 0, dn/dx + d(nv^ dx - 0,
где c3B = у/квТе/т{. Проводя выкладки, аналогичные сделанным выше, придем
к уравнению (18.18) с переменной v вместо и.
Уравнения (18.16) и (18.18) суть уравнения простой волны, а их решения -
простые, или римановы, волны. Эти волны называют простыми именно потому,
что они вместо системы уравнений описываются одним уравнением первого
порядка.
Найдем уравнения простых волн в общем виде. Пусть вектор-функция U,
характеризующая некоторую среду, удовлетворяет уравнению
A{U)Ut + B(U)UX = 0, (18.19)
382
Глава 18
где A(U) и B(U) - квадратные матрицы. Будем считать, что система (18.19)
гиперболическая. В скалярной форме ее можно записать в виде
, . dUj , вы
ит-^+ът-
X
j=i
дх
О (г = 1, 2, ... , п).
Полагая Uj = Uj(Uk), получим
X
i=i
dUk
,dUk
,dUk
4j{Uk) q^ + bij(Uk)
= 0.
Это система линейных уравнений относительно переменных dUj/dUk. Для
существования нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы
Det ||aijV(Uk) +Ь^\\ = 0,
где V(Uk) = (dUk/dt)/(dUk/dx) (к - 1, 2, ... , п). Из получившихся п
уравнений находятся в общем случае п различных значений V[(uk),
соответствующих п разным простым волнам.
18.3. Определение координат разрыва
Определим координаты разрыва, возникающего в результате эволюции простой
волны, на примере волн в автомобильном потоке [6].
Будем считать, что движение однорядное, а светофоры отсутствуют.
Обозначим через q поток машин, равный числу автомобилей, проходящих через
данную точку шоссе в единицу времени, а через р плотность (концентрацию)
машин, равную числу автомобилей на единицу длины. Если общее число машин
на трассе сохраняется (нет источников и стоков), то dp/dt + dq/dx = 0, q
= q(p), или
др/dt + и(р)др/дх = 0, и(р) = dq/dp. (18.20)
Это уравнение простой волны, решения которого часто называют
кинематическими волнами. Характер зависимости потока машин от их
плотности изображен на рис. 18.6а. Вначале поток растет вместе с ростом
числа машин на единицу длины, а затем, достигнув максимума, начинает
падать и обращается в нуль при очень большой концентрации (машины
упираются бамперами друг и друга и останавливаются. Как показывают
наблюдения, для однорядного движения без светофоров р* = 140 км-1, ры =
50 км-1, а максимальный поток qM ~ 1500 ч^1,
18.3. Определение координат разрыва
383
б)
t=О
t=t.
t=U>t,
Рис. 18.6. Распространение волн в потоке: а - зависимость потока машин от
их плотности: б - возникновение разрыва в профиле волны при du/dp = 0; в
- зависимость скорости распространения возмущений от плотности машин; г -
образование разрыва на заднем фронте импульса из группы машин
причем достигается столь большой поток при довольно маленькой скорости,
равной приблизительно 30 км/ч. Если в потоке машин возникнет возмущение
плотности (например, кто-то затормозил), то оно будет распространяться со
скоростью и(р) = dq/dp (скорость потока q/р = V). Решение уравнения
(18.20) отыскивается в виде
р{х, t) = р\х - u(p)t],
или, если записать через обратную функцию.
х - u(p)t = Ф(р). (18.21)
При такой форме записи легко найти решение: каждая точка профиля волны
будет двигаться по прямой на плоскости xt (рис. 18.66) со своей
384
Глава 18
скоростью и(р). Эти прямые называются характеристиками (см. гл. 7). Точка
пересечения характеристик соответствует возникновению разрыва в профиле
