Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
волны, где др/дх. dp/dt, д2р/дх2, d2p/dt2 -" оо (так как это точка
перегиба). Координаты разрыва (момент времени t*, значение х*, при
которых образуется разрыв, и величину р* в точке перегиба) легко найти,
воспользовавшись соотношением (18.21). Пусть нам задано р(х) при t - 0.
Дифференцируя (18.21) по координате, имеем
При t = 0 величина d'S/dp = (др/дх)//10 характеризует начальный профиль
плотности. Так как функция Ф от t не зависит, то с течением времени она
меняться не будет. С учетом последнего соотношения уравнение (18.22)
примет вид
Таким образом, разрыв при t > 0 образуется на переднем фронте волны
(dp/dx)t=о < 0, если du/dp > 0, и на заднем фронте (dp/dx)f-о > 0, если
du/dp < 0. Поскольку в случае автомобильного потока и{р) функция
монотонно убывающая (рис. 18.6в), разрыв (резкая концентрация машин)
стремится образоваться на заднем фронте импульса из группы машин (рис.
18.6г). Заметим, что там, где и(р) > 0, волна бежит в ту же сторону, что
и поток машин, при и(р) <0 - в противоположную. Машины (они движутся
быстрее, чем волна) догоняют скачок уплотнения и увеличивают его (чтобы
не "уплотнять" затор, шофер должен резко тормозить в переходной области и
затем постепенно увеличивать скорость, убегая от затора).
Возвращаясь к задаче об определении координат разрыва, запишем систему
уравнений, решением которой они являются. Так как на разрыве дх/др и
д2х/др2, то, дифференцируя с учетом этого (18.21) по р при постоянном t,
получаем
dp дх dp дх
(18.22)
-(du/dp^X = Ф>*), ~(d2u/dP2)\p=pX = Ф"(Л-
Добавив сюда уравнение (18.21) в точке разрыва:
х* -и(р*)Г = Щр*),
18.4. Слабые ударные волны. Граничные условия на разрыве
385
будем иметь систему трех уравнений, из которой можно найти неизвестные
величины х*, ?*, р* ¦
В случае задачи с граничными условиями (при t = 0 задана форма волны на
границе) координаты разрыва находятся из условий dt/dp = О и d2t/d2p = 0
аналогично предыдущему.
Итак, в линейной среде без дисперсии любая бегущая волна является
стационарной, т. е. при распространении форма ее не меняется. Причем все
физические переменные в такой волне связаны алгебраически. В то же время
даже в слабо нелинейной среде при отсутствии дисперсии все гармоники,
порождаемые нелинейностью, находятся в резонансе с основной волной - все
они распространяются с одинаковыми скоростями. Поэтому, спустя достаточно
большое время, даже при очень слабой нелинейности амплитуда их будет
нарастать, что приведет к существенному изменению профиля волны, т. е. в
нелинейных средах без дисперсии стационарных волн быть не должно. На
спектральном языке сказанное означает, что спектр исходного возмущения
будет непрерывно расширяться вправо. В результате в спектре волны
появляются бесконечно высокие частоты, что и соответствует возникновению
бесконечно быстрых перепадов на фронте волны.
18.4. Слабые ударные волны. Граничные условия на разрыве
После образования разрыва или ударной волны (см. гл. 19) уравнением
(18.1) или (18.20) для описания процесса распространения волны в
нелинейной среде без дисперсии пользоваться же, вообще говоря, нельзя.
Однако если разрыв занимает очень узкую область в пространстве, то,
поскольку вне области разрыва решения гладкие, естественно попытаться
сохранить для описания эволюции волны уравнение (18.1), исключив из
рассмотрения область разрыва, заменяя ее подходящими граничными
условиями. По идее этот подход аналогичен введению быстрых и медленных
движений при анализе релаксационных колебаний (см. гл. 14).
Для получения граничных условий исходные уравнения типа (18.19) следует
записать в виде законов сохранения:
^ + fxFi[Ul- ¦¦¦ -u")=°- (18'23)
Если теперь считать разрыв бесконечно тонким, то его распространение
следует характеризовать лишь одной скоростью vp(t). Двигаясь
386
Глава 18
в его малой окрестности по ж и t:
//(
Q
Воспользовавшись затем формулой Грина, пе-Рис. 18.7. К определе- рейдем к
интегралу по контуру нию скорости разрыва р
(x(t) - траектория раз- I {щ dx - Fi dt) = 0. (18.24)
рыва) "
Выбирая контур, как на рис. 18.7, и имея в виду, что разрыв бесконечно
тонкий, находим из (18.24)
t2
J{[u2(t) - и,(t)K(i) - [F2(t) - Fi(t)]} dt = 0. (18.25)
<1
Здесь учтено, что разрыв движется по траектории, задаваемой равнением
dx/dt = vp(t); индексы 1 и 2 обозначают физические величины
соответственно до и после разрыва. Ввиду произвольности пределов
интегрирования в (18.25) необходимо потребовать равенство нулю
подынтегрального выражения, т. е. потребовать, чтобы выполнялось
равенство
АщЦ) = AFi(t)/vp(t). (18.26)
Это и есть искомые граничные условия на разрыве.
Если известны изменения физических переменных на разрыве, то из (18.26)
можно определить скорость разрыва. Приведем в качестве примера
распространение волны в линии передачи с нелинейной емкостью (см. рис.
18.4а) [11]. Соответствующие уравнения (18.11) уже имеют вид законов
сохранения. Нам остается их только проинтегрировать вдоль траектории
