Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
линейно нарастает:
и(х, t) = Uq exp(iu>t - ikx) + piw(x, t) + к. с., (18.9)
(18.10)
Здесь wjm^ -j-я компонента m-й гармоники вектор-функции w(x, t); F/m) -
1-r компонента m-й гармоники вектор-функции /([/, Ux, Ut);
w(x. t) ~ t sin(o>? - kx) -> ts\n{u)t - kx).
Так им образом, при отсутствии дисперсии в нелинейной среде амплитуды
всех гармоник основной волны непрерывно растут и решение,
378
Глава 18
близкое к синусоидальной волне (18.9), быстро становится несправедливым.
Причем нарастающие гармоники принимают участие в нелинейном
взаимодействии п порождают новые комбинационные волны. Из-за отсутствия
дисперсии эти волны оказываются резонансными и их амплитуда
увеличивается, в результате рождаются новые гармоники. Число
взаимодействующих синусоид при этом лавинообразно увеличивается, и спектр
волны непрерывно расширяется. Подчеркнем, что из-за бесконечного числа
резонансов подобное расширение спектра приводит к непрерывному уменьшению
энергии, запасенной вначале в произвольном, ограниченном сверху
спектральном интервале. Процесс рассеяния этой энергии на вновь
возникающих гармониках с уходящими в бесконечность частотами как раз и
соответствует непрерывному увеличению крутизны профиля распространяющейся
волны и образованию области бесконечно быстрого изменения полей -
разрыва.
г) д)
Рис. 18.4. Схема линии передачи с нелинейной емкостью (а); характеристики
"среды" - модели (б-г) и изменение профиля волны при распространении в
такой линии (д)
Получим уравнение простой волны для линии передач с нелинейной емкостью
(рис. 18.4а). Исходные уравнения имеют вид
д!/дх = -dQ{U)/dt, dU/dx = -Ldl/dt. (18.11)
На рис. 18.46 приведена типичная зависимость заряда на конденсаторе от
напряжения. Будем искать решение в виде простой волны, т. е. считать, что
I = I{U). Тогда, вводя нелинейную емкость С" - dQ/dXJ.
18.2. Бегущие волны в нелинейной среде без дисперсии
379
имеем
С (тг)<Ш- _j_ dl dU _ q Ch(U) dt + dUdx~ U'
T dl_ dU_ ,dU= n dU dt dx
Эти два уравнения для одной переменной; следовательно, коэффициенты при
производных должны совпадать, т. е. Ldl/dU = CH(U)/(dI/dU) или (dl/dU)2 =
CH(U)/L - аналог волновой проводимости. Отсюда I(U) = ± [Ск (С/)/i]1/2
dU, знаки плюс и минус относятся соответственно к волнам, бегущим вправо
и влево. Итак, для волн, распространяющихся вправо, мы получим уравнение
dU/dt + (LCH(U))-1/2dU/dx = 0.
(18.12)
Это и есть искомое уравнение простой волны, где (LC"(t/))~1//2 = = V(U) -
ее скорость. Этому уравнению удовлетворяет решение U = U[x - V(U)t]. Если
CH(U) - монотонно убывающая функция, то V(U) - монотонно нарастает (рис.
18.4в, г). Таким образом, в простой волне точки, расположенные у вершины
профиля волны, будут двигаться быстрее, чем точки у ее основания (это
показано стрелками на рис. 18.4д). Задний фронт волны будет
растягиваться, а передний - становиться круче, и в некоторый момент в
результате набега вершины зависимость U от х, t становится неоднозначной
- происходит опрокидывание (рис. 18.4д). Такая неоднозначность для
электрического поля, естественно, лишена физического смысла, и далее
решение в виде простой волны просто неприменимо. Заметим, что
возникновение области бесконечно быстрого изменения физических величин во
времени и пространстве есть результат пренебрежения дисперсией и
диссипацией в исследуемой среде.
Рис. 18.5. Волновое возмущение в слое жидкости над твердым дном
Приведем несколько примеров распространения простых волн в сплошных
средах, опираясь на соответствующие линейные задачи гл. 5. Начнем с
анализа распространения волн в слое жидкости над твердым дном со средней
высотой ho (рис. 18.5). Рассмотрим гравитационные
380
Глава 18
волны с длиной волны А ho (это - условие малой глубины),
распространяющиеся в положительном направлении оси х. Поскольку волны
длинные, горизонтальную скорость V для всех высот (глубин) можно считать
одинаковой и не зависящей от z. Тогда для V можно записать уравнение
Эйлера в виде
dV/dt+ VdV/dx + p-1dp/d ж = 0. (18.13)
Давление р здесь следует понимать в смысле его среднего значения по
высоте. Оно больше там, где выше жидкость, на величину (h - ho)pg по
сравнению с давлением в невозмущенном слое. Таким образом, р~хдр/дх =
gdh/dx. В силу малой глубины канала можно не учитывать зависимость
плотности р от глубины z, т. е. считать жидкость несжимаемой: р = const.
Для высоты h надо записать еще уравнение непрерывности
dh/dt+ d(Vh)/dx = 0, (18.14)
которое выражает то обстоятельство, что скорость изменения высоты слоя
dh/dt связана с разностью потоков через бесконечно близкие сечения х и х
+ Ах.
Для удобства запишем уравнения (18.13) и (18.14) в виде системы
dV/dt + VdV/dx + gdh/dx - 0,
dh/dt+ Vdh/dx + hdV/dx = 0. (18-15)
Это система нелинейных уравнений. Линеаризовав ее в окрестности
равновесных значений Vo, ho и получив дисперсионное уравнение и> = fc(Vo
± \/gho), легко убедиться, что система не обладает дисперсией. На этом
