Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
375
I
1(0,Q <
КО,t0
/(О ,t0)
ко,о
x"i
Х=2
/ \) W st
1(0, t о)
г)
cot г.
Рис. 18.3. Зависимость тока сгруппированного в пространстве дрейфа пучка
от начальной фазы влета электронов и от длины дрейфа (а-г) и траектории
фазового фокуса, который образуется в плоскости Iо = 2do/(?uj) (е)
и т. д.) в среде отсутствуют. В частности, для электромагнитных волн это
возможно лишь в случае, когда материальные уравнения выражают
функциональную зависимость между поляризацией и полем, т. е. связь между
этими физическими величинами локальна во времени и пространстве. Такая
локальность связи приводит к тому, что фазовая скорость малых
синусоидальных возмущений не зависит от их частоты или волнового числа.
В линейных средах без дисперсии (см. гл. 4), как известно, возможно
распространение без искажения и с постоянной скоростью волн произвольной
формы, причем каждая из компонент поля в волне удовлетворяет одному и
тому же уравнению duj/dt + Vs duj/dx = 0, а различные физические
переменные (компоненты Uj) изменяются пропорционально друг другу: Uf. ~
uj(x - Vst). Ясно, что в нелинейной вреде волны такого вида, вообще
говоря, существовать не могут, поскольку возникшие даже при малой
нелинейности возмущения будут накапливаться и приведут к непрерывной
деформации профиля волны. Однако ввиду отсутствия дисперсии одно из
свойств упомянутых бегущих волн, по-видимому, должно сохрани гься и в
нелинейной среде, а имен-
376
Глава 18
но различные переменные в волне могут быть связаны друг с другом
алгебраически (т. е. локально). Легко убедиться, что такие решения
действительно существуют в нелинейных средах без дисперсии. Их и называют
простыми волнами.
Поскольку все компоненты поля в простой волне выражаются алгебраически
друг через друга, вместо исходной системы уравнений для ее описания можно
получить одно уравнение первого порядка относительно какой-либо из
компонент. Это уравнение должно описывать бегущую волну, скорость которой
зависит от амплитуды поля, т. е.
Очевидно, что решение (18.6) удовлетворяет написанному выше уравнению
(18.1), которое и есть уравнение простой волны. Из-за зависимости
скорости волны от амплитуды, как мы видели на примере, малые возмущения
на разных точках профиля распространяются с разными скоростями, что и
приводит к изменению формы волны. Естественно, что (18.1) описывает
простые волны любой физической природы, т. е. в этом смысле является
универсальным.
Во многих случаях как с точки зрения математического описания, так и с
точки зрения физического понимания механизма нелинейных процессов
эволюцию нелинейных волн удобно рассматривать как взаимодействие
отдельных квазигармонических волн. Обсудим на основании такого
спектрального подхода основные феномены нелинейного процесса
распространения волн в среде без дисперсии - деформацию простой волны и
возникновение разрыва.
При сильной нелинейности говорить о взаимодействии отдельных гармоник не
имеет смысла: их время жизни порядка времени взаимодействия и порядка
периода: поэтому будем считать нелинейность малой. Тогда поле в среде
можно описать системой уравнений вида
где А и В - постоянные матрицы, и - вектор, состоящий из компонент поля,
а / - вектор-функция, содержащая нелинейные (в общем случае и дисперсные,
и диссипативные) члены.
Предположим, что вначале (при t = 0) мы создали в среде периодическое
возмущение Uo ехр( - ikx) + к. с. = U(x. 0). Тогда при t > 0 и р, = 0
возмущение приняло бы вид бегущей волны:
Uj - Uj[x - Vs(uj)t].
(18.6)
Aut + Bux - ux, ut).
(18.7)
U(x, t) = Uq exp{iwt - ikx) + к. с.
(18.8)
18.2. Бегущие волны в нелинейной среде без дисперсии
377
с частотой и = Vs(k)k, определяемой дисперсионным уравнением среды D(uj,
к) = Det(^w - Вк) = 0. Мы здесь для простоты рассуждений считаем, что
данному действительному к соответствует лишь одно действительное решение
дисперсионного уравнения относительно ш (остальные нормальные волны
сильно затухают - им соответствуют комплексные корни ш(к)).
При малой нелинейности естественно попытаться искать решение системы
(18.7) при указанных начальных условиях в виде, близком к бегущей
синусоидальной волне, т. е.
где w(x, 0) = 0. Пусть /(гг, их, щ) -полином по и, их. щ. Тогда,
отыскивая поправку w(x, t) по теории возмущений, получаем для амплитуд
составляющих ее гармоник
D -¦ определитель матрицы \Атш - Втк\ - полином, стоящий в левой части
дисперсионного уравнения, a Aij - алгебраическое дополнение элемента aij
этой матрицы.
Если дисперсия в среде отсутствует, то фазовые скорости всех гармоник
совпадают и т-я гармоника основной волны, которую здесь можно считать
внешним полем, попадает в резонанс с собственной волной среды, т. е.
удовлетворяет дисперсионному уравнению D(mu>. тк) = 0. При этом функция
w(x, t) оказывается секулярной: вблизи резонанса решение имеет вид
биений:
а при стремлении разностной частоты Q - и>(тк) к нулю (точный резонанс)
