Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 869

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 863 864 865 866 867 868 < 869 > 870 871 872 873 874 875 .. 942 >> Следующая

вновь приходим к уравнениям вида (17.31). Поскольку волны отрицательной
энергии, отдавая энергию другим волнам (и увеличивая их амплитуды),
нарастают по амплитуде и сами, становится понятным одновременный рост
всех взаимодействующих волн, наблюдаемый при взрывной неустойчивости
[11].
Глава 18
Простые волны и образование разрывов
18.1. Кинематические волны
Для нелинейных систем с сосредоточенными параметрами основной моделью,
как мы видели, является нелинейный осциллятор, описываемый уравнением х +
f(x) = 0 (см. гл. 13). Решение этого уравнения для многих задач служит
основой, на которой можно строить приближенные решения при учете
возмущающих факторов - внешних воздействий, положительной или
отрицательной диссипации (см. гл. 15-17), нестационарности параметров и
т. д. В теории нелинейных волн таких основных моделей несколько. Прежде
всего это модель так называемого одноволнового приближения - уравнение
du/dt + V(и) ди/дх = 0, (18.1)
описывающее плоскую бегущую волну в нелинейной среде без диссипации и
дисперсии; уравнение Бюргерса для сред с затуханием:
du/dt + V(и) du/dx - a d2u/dx2 = 0; (18.2)
обобщенные уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ) для бегущей волны в среде с
дисперсией в области высоких частот:
du/dt + V(u) du/dx + /3 d3u/dx3 = 0. (18.3)
Среди моделей, в которых учитывается взаимодействие встречных волн, одной
из наиболее распространенных служит модель, описываемая уравнением
Клейна-Гордона (для сред с дисперсией в области низких частот):
d2u/dt2 - V2d2u/dx2 + &(и) = 0. (18.4)
В этой и последующих главах мы обсудим задачи, приводящие к этим моделям,
явления и эффекты, которые ими описываются [1-6, 14- 16].
18.1. Кинематические волны
371
Прежде чем переходить собственно к волнам в сплошной среде, рассмотрим
одну простую модель, хорошо известную в электронике. Пусть вдоль оси х
движется пучок невзаимодействующих частиц так, что в эйлеровых переменных
их скорость удовлетворяет уравнению
dv/dt = dv/dt + v dv/дх = 0. (18.5)
В электронике уравнение (18.5) описывает в рамках так называемой
кинематической теории поведение электронного потока в трубе дрейфа
приборов клистронного типа (простейший пролетный двухрезона-торный
клистрон обсуждался нами качественно в гл. 1). Различие в скоростях
электронов приводит в трубе дрейфа к образованию электронных уплотнений -
группированию электронного потока. Внешне уравнение (18.5) очень похоже
на уравнение простой волны, хотя, конечно, пучок невзаимодействующих
частиц не является нелинейной средой.
Рассмотрим вначале волны малой амплитуды, когда v = vo + v', v' ~
exp[i(ut - kx)] (vo > v'). Из (18.5) в этом приближении находим, что
dv'/dt + vodv'/dx = 0, и, следовательно, ш = Vok (vo = const), т. е. в
линейном случае в системе дисперсии нет. Пусть теперь в момент времени 1
= 0 пучок оказывается возмущенным по скорости по закону asinfca:.
Перейдем в движущуюся со скоростью vo систему координат и рассмотрим
эволюцию начального возмущения. Введем х = хСТ - vot и v = Vo + и.
Опуская индекс, в этой системе получим du/dt + иди/дх = 0. Решение этого
нелинейного уравнения имеет вид так называемой простой волны и = U(t -
х/и), где выражение для U определяется начальным возмущением. При
распространении такой волны в нелинейной среде ее профиль меняется со
временем, поскольку разные точки на профиле волны бегут с различной
скоростью. В случае пучка это есть следствие того, что частицы смещаются
друг относительно друга из-за разных скоростей, причем одни частицы могут
обогнать другие: в результате функция и(х, t) станет неоднозначной [7].
Проследим за пучком на фазовой плоскости их, на которой каждая точка
смещается со своей собственной скоростью. Верхней полуплоскости (и > 0)
соответствует движение вправо, а нижний (и < 0) - влево, причем скорость
каждой точки пропорциональна ее удалению от оси х. Рисунок 18.1
иллюстрирует процесс эволюции пучка на фазовой плоскости их. Начальное
состояние пучка - синусоида asmkx на плоскости их: здесь же штриховой
линией показана зависимость плотности объемного заряда пучка от х (рис.
18.1а). С течением времени происходит искажение профиля волны: частицы с
и > 0 уходят вперед,
372
Глава 18
Г.Р
1 Kj/-" A X
а с и < 0 отстают от волны. Одновременно образуются сгущения частиц
вблизи точек 1 и 2, где и = 0, и происходит группирование пучка
(рис. 18.16). Волна постепенно становится все круче, и в конце концов
производная ди/дх на ее переднем фронте обращается в бесконечность (в
бесконечность обращается в этой точке и плотность р(х) объемного заряда
пучка). В следующий момент происходит опрокидывание волны, и функция и(х,
t) перестает быть однозначной (рис. 18.1в, г): у нее появляется точка
поворота, т. е. образуются встречные пучки. После опрокидывания волны
функция р(х) имеет удвоенное число особенностей (рис. 18.1 в, г). С
дальнейшим увеличением времени t структура потока еще более усложняется,
возникает многопотоковость, однако мы на этом останавливаться не будем
Предыдущая << 1 .. 863 864 865 866 867 868 < 869 > 870 871 872 873 874 875 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed