Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
откуда 7 = A sh2 y/A/12h, где А - const. В этом случае особая точка -
центр. Все описанные ситуации собраны на рис. 19.4 [6]. Полученные
результаты для конкретной модели вполне соответствуют результатам
качественного исследования уравнения (19.1) одноволнового приближения.
В линии с пространственной дисперсией, т. е. при нелокальной связи
погонного потока Ф и заряда Q с током и напряжением, скорость ур
396
Глава 19
Рис. 19.4. Фазовые портреты стационарных олн в линии с временной
дисперсией: а - случай сильного затухания; б - случай, когда диссипации в
линии нет; в - случай слабого затухания - структура фронта волны и
фазовый портрет
ударной волны может быть меньше групповой скорости возмущений,
возникающих в области фронта ударной волны. В результате осцилляции
обгоняют фронт и в стационарной волне наблюдаются у подножия волны - на
переднем участке фронта. Если, например, в линии передачи, схематически
представленной на рис. 19.3а, ввести индуктивную связь между ячейками, то
приближенно для систем с малыми (по сравнению с пространственным
масштабом возмущения) ячейками можно считать, что
Ф = Ф(7) - Мд21/дх2, Q = CU-RCdQ/dt,
(19.12)
где М - коэффициент, учитывающий индуктивную связь между
последовательными ячейками (для простоты считаем, что L - 0. см. рис.
19.3а). В этом случае (19.3) с учетом (19.12) превращается в уравнение
(см. [8])
МС d2I/d?2 - RCdl/di - {(/ - IQ - СуЦФ(7) - $(Ji)]} = 0. (19.13)
При М < 0 фазовые портреты для уравнения (19.13) подобны фазовым
портретам на рис. 19.4 - влияние пространственной дисперсии на структуру
ударной электромагнитной волны качественно такое же,
19.2. Уединенные волны - солитоны
397
Рис. 19.5. Фазовые портреты и структура фронта ударной электромагнитной
волны в линии с пространственной дисперсией: а - случай сильного
затухания; б - случай слабого затухания
как и временной. Но при М > 0 и достаточно малом R особая точка Ii =0
становится неустойчивым фокусом (рис. 19.56). Колебания возникают перед
фронтом ударной волны (рис. 19.56) - в этом случае групповая скорость
осцилляций больше vp. Стационарные ударные электромагнитные волны
детально исследованы экспериментально, например, в коаксиально-спиральном
волноводе, заполненном ферритом, и в многозвенных искусственных линиях
[7, 8].
19.2. Уединенные волны - солитоны1
Рассмотрим среду без диссипации (v = 0). Пусть пока нелинейность в среде
квадратична, т. е. v(u) - и. тогда вместо (19.1) будем искать уравнение,
полученное Кортевегом и де Вризом для волн на поверхности жидкости:
Ut -f- UUX -f- ftuXxx - 0* (19.14)
1Солитоном посвящена обширная литература. К основным источникам следует
отнести [9-12, 25-29]. Хорошее популярное изложение физики солитонов дано
в [13, 301-
398
Глава 19
Решения этого уравнения сейчас изучены очень подробно, в том числе и
нестационарные, но мы будем обсуждать только самые простые из них,
дополнив обсуждение качественными соображениями. Прежде всего
поразмышляем над тем, к чему может привести добавление к уравнению
простой волны слагаемого, описывающего дисперсионное расплывание. Как мы
уже знаем, дисперсионное расплывание может компенсировать процесс
опрокидывания волны, и тогда ее профиль стабилизируется, т. е. возможно
существование стационарных бегущих волн, профиль которых не меняется во
времени. Такие волны определены во всем пространстве и бегут с постоянной
скоростью V, т. е. все переменные в волне являются функцией бегущей
координаты ? = х - Vt. Для них ди/дх = du/d?, du/dt = -V du/d?, т. е.
стационарные волны уравнения (19.14) описываются уравнением в
обыкновенных производных (3d3u/d(3 + (и - V)du/d( = 0, или после
интегрирования,
j3d2u/d?2 + {Vu- и2/2) = Ci. (19.15)
Таким образом, стационарным волнам уравнения Кортевега-де Вриза
соответствует уравнение консервативного нелинейного осциллятора.
Постоянную будем считать равной нулю (это всегда можно сделать, введя
полую переменную), тогда уравнение (19.15) представляется в виде
f3d2u/d?,2 = -dW/du, где W = -Vu2/2 + и3/6. Потенциальная энергия W
стационарных волн и их фазовый портрет приведены на рис. 19.6.
Существуют различные классы решений уравнения Кортевега-де Вриза. Можно
выделить два из них.
1. Квазисинусоидальные колебания с малыми амплитудами (фазовые траектории
вблизи состояния центра); для них нелинейность почти не сказывается (рис.
19.7а).
2. Движение вблизи сепаратрисы и по самой сепаратрисе. Именно эти сильно
нелинейные волны и представляют для нас интерес. Периодические движения
вблизи сепаратрисы (рис. 19.76) называются кноидальными волнами.
Сепаратрисе соответствует локализованное в пространстве решение в виде
одиночного возвышения или уединенной волны - солитона (рис. 19.7в) с
амплитудой umax = 3VC Это решение аналитически записывается в виде
и{х, t) = umax сЫ2[(х - Vt)/A],
где Д - характерная ширина солитона. Справедливость решения легко
проверить прямой подстановкой его в уравнение (19.15) при С\ - 0. Ис-
