Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Получив выражение для АФХ первого блока модели в виде G1(JCo)=JCOT1Z(Ih-JCOt1) и использовав результаты примера 10.1, получим АФХ и ПФ модели СИ:
C(JCO) = G1(JCo)G2(Ja)) = -^1
і + її
1
G[P) = Gx[P)G2[P) =
jcot1 1 + jcot2 '
Р*\ 1 1 + /^1 \ ^рх2
По табл. П13 получим
T2-T1
±е-'/ч_±е-'^
и, используя (10.10), найдем ПХ
О Т2 1I
Пример 10.4. Модель СИ представляет собой последовательное соединение идеального интегратора на емкости С, ФНЧ и ФВЧ 1-го порядка с постоянными времени T1 = A1C1, T2 = R2C2 соответственно (рис. 10.9). На вход СИ поступает сигнал в виде дельта-импульса заряда x(t) = Qb{t). Определить сигнал y{t) на выходе СИ.
Решение. Поскольку на входе СИ имеется идеальный интегратор, то дельта-импульс заряда на емкости С преобразуется в скачок напряжения амплитудой U0 = Ql С.
Определим вначале сигнал после его преобразования ФВЧ. Используя интеграл свертки и ИПХ ФВЧ в виде (5) табл. П13, получаем
286
_л_ '(O
CK1
CK9
Рис. 10.9. Модель СИ для определения сигнала и дисперсии шума в примерах 10.4, 10.9, 10.10, 10,11, 10.20: ПУ - предварительный усилитель; и - эк-
~2
Бивалентные сопротивления последовательного и параллельного шумов; д/е ,
.р генераторы последовательного и параллельного шумов
ад = \u0(t -Qg1(QdZ = Ju0S[QdE, -Ще-^ъ = U0^. (і)
0 0 т1 о
Аналогичным образом, используя выражение для ИПХ ФНЧ в виде (4) табл. П13, получаем выражение для сигнала на выходе модели СИ
о
= JU0 ехр
о
Un
= —-ехр
х2
К M J I
J ехр
f ,V
^ hj
1
— ехр
T KX\J
ґ Ал К bj
ехр
S =
= ип
T2-T1
ехр т2 "т1 I -1 ехр t
I Vl J
Т, -т2
ехр
f '1 { Л
-- - ехр --
V т2>
(2)
Более простым способом этот результат можно получить, если использовать операторное представление сигнала и ПФ блоков модели СИ:
Y(P) = O-__Р 1 --U _^_
УР} ^ pCl + pxx\ + pi2 »(I + ^1)(Z + PT2)-
(3)
287
Тогда U2(t) можно найти, используя выражение (3) и таблицу операторных преобразований Лапласа П13 (п. 9). При T1 = T2 = T0 выходной сигнал будет иметь вид
y{t) = U0—exp
ґ 1Л V то)
(4)
а максимум этого сигнала при т = т0 имеет величину U0Ze, U0= Q/С (е=2,7).
Пример 10.5. Модель СИ представлена на рис. 10.10. АФХ этой модели, определенная как отношение тока на выходе I2Qсо) к току на входе I1Qw), равна
2
G(JCD) =
сог
(1)
Z1(JCo) со0 - со2 + j2aco '
где a = R/2L; со0= 1/LC, со0 — резонансная частота LC-контура. Определить ИПХ, ПХ, а также частную динамическую характеристику: время успокоения показаний до уровня 0,95 от установившегося значения переходной характеристики.
Вход о-
,си
R
-> Выход
V 1T
I2Qn)
Рис. 10.10. Модель СИ для примера 10.5. и задачи 10.5
Решение. Передаточную функцию определим заменой комплексной частоты jco на комплексную переменную р:
1
G(p) = col0
р + 2ар + со0 288
2 *
(2)
Если напряжение измеряется на сопротивлении R, то передаточная функция будет иметь вид
R
G(p) =
CD
° р2 + 2ар + COq
Для определения ИПХ, разложим знаменатель на два сомножителя и представим ПФ в виде, удобном для использования преобразований Лапласа табл. П13:
1
G(P) =
со;
0 [p-Pi){p -PiY
где р{и P2- корни знаменателя, равные
р{=-а + д/ а2 - coq , р2=-а- д/а2 -coq. (3)
В зависимости от соотношения между слагаемыми подкоренного выражения в корнях р{ и р2 возможны три решения. Если подкоренное выражение отрицательно, то ИПХ будет иметь колебательную составляющую, если положительно, то ИПХ будет изменяться апериодически, что в электронной технике называется апериодическим режимом изменения ИПХ СИ. При равенстве составляющих под корнем имеет место граничный или так называемый критический режим изменения ИПХ СИ. Используя табличное значение преобразования Лапласа (табл. П13), получаем вначале ИПХ критического режима, который соответствует условию а2 = со2:
G(p) = COq-L => gx(t) = ю2/е"а' при а2 = со2, (4)
(/> + <*)
а затем ИПХ при неодинаковых корнях знаменателя ПФ
При а2« COq, что соответствует корням уравнения в комплексном виде, получаем
g2(t) =_ 03Q f-g/f^Ц1*? _ е->4
2)^1-а2
V
2
- Ш° e"ar sinUco2 - а2Л * со0е"а/ sinсо0/; (6)
2ід/со2-а2 V ;
при а2»со2
10 Основы метрологии 289
Приближенные крайние правые выражения (6) и (7) приведены для а2 «со2 и а2»Co2 соответственно. Используя (10.12), получаем выражения для ПХ
A1(O = I-(UaOe"^, (8)
2
МО = ^-гЧ^р¦ e~a'(asin?'+ ?cos?/)], ? = V00O-«2;
P a + ? 1 J
A2(O ~ 1 - e"a/ COSCo0/ при a2 « co0; (9)
A3(O * ^т(2а/ - 1 + e"2a') при a2 » со2.
Определим некоторые частные динамические характеристики для колебательного режима (9) изменения ИПХ и ПХ со временем. Частота колебаний равна со0 = l/VZc. Время достижения ПХ уровня 0,95 от установившегося уровня, равного единице, определим из соотношения 0,95= 1 -e~a' cos W0/. Полагая cosco0/ = 1, получаем /уст = 3/ос = 6L/R.
Пример 10.6. Для модели СИ, приведенной в примере 10.1, оценить с помощью соотношений (10.17) время задержки и постоянную времени нарастания выходного сигнала. Определить также время измерения, соответствующее достижению уровня 0,95 от установившегося значения выходного сигнала.
