Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
3\пах('и) = *С
Определим дисперсию шума на емкости С (см. табл. П14)
n 9 J ^nO у 2 2 l~T J1 / \2 9Т
( t V
1 - ехр
(2)
(3)
(4)
о і + (ют)
Отношение наибольшего значения выходного сигнала, которое будет иметь место при времени измерения, равном длительности сигнала, будет равно
ГО *о[і-ЄХР('иЛ)] _ [W
4N" Jsj* =v
'n0
(і \
(5)
где р(/иД) = р(|и)=л/2ц(1 -е"»4), ц = /и/т, W=x2QtH — энергия импульса. Графическое решение трансцендентного уравнения р(ц) показывает, что оно имеет максимум при /и = 1,25т. При этом влияние шумов на погрешность измерения минимально и л(ц= 1,25) = 0,9.
304
Систематическая погрешность при этом будет равна у (q - *о = ехР KA) = ехР (-^25) = 0,29.
Это довольно высокая погрешность (29%) по отношению к исходному значению х0. Возможны различные подходы при решении конкретной технической задачи для уменьшения погрешности измерения:
— если х0 изменяется незначительно, то можно частично компенсировать (исключить) эту погрешность;
— поскольку длительность /и не изменяется (например, размеры изделий идентичны), то систематическая погрешность исключается с помощью градуировки;
— если шум незначителен (сигнал не «тонет» в шумах), то можно оптимизировать измерение исходя из требуемого значения систематической погрешности, уменьшив с этой целью постоянную времени т;
— использование стробирования, т.е. включение измерения в момент появления импульса (перепада) и прекращение измерения в момент его окончания [34].
Пример 10.17. На входе СИ имеется линейно изменяющийся сигнал вида (рис. 10.14)
где и — скорость нарастания сигнала, м/с; t — текущее время, с. Определить систематическую и случайную погрешности измерения при следующих условиях (см. модель для определения погрешностей на рис. 10.3):
— на входе СИ также действует белый шум со СПМ ?n(co) = Sn0;
— ИПХ вторичного преобразователя СИ равна
— ИПХ коллиматора имеет вид дельта-функции gK(t) = 5(/);
— ИПХ идеального канала сравнения g0(t) = d(t)9 т.е. в настоящей задаче необходимо произвести непосредственное измерение ФВх(Г).
Решение. Случайная составляющая погрешности, обусловленная электронным шумом так же, как и в примере 10.16, равна SnQ/2x. Систематическая составляющая погрешности, обусловленная линейными искажениями из-за коллиматора и вторичного преобразователя СИ, может быть вычислена по формуле (10.1):
(D
(2)
305
W)=И')-ио I=
(3)
где gKBn(0 — свертка ИПХ коллиматора и вторичного преобразователя. Поскольку ?к(0 = 5(0, то gKBn(t) =gm(0-Подставляя в (3) формулы (1) и (2), получаем
^dyn
(>)
Vt
ju^-exp -
= VX
1 - ехр
VT при t » t .
(4)
Таким образом, общую погрешность измерения сигнала можно представить в виде
Ч = Vz ± K(P) JSnJb. (5)
Из (5) видно, что систематическая и случайная погрешности по-разному зависят от постоянной времени т и при некотором значении T возможно получение минимума суммарной погрешности.
Пример 10.18. Получить выражение для суммарной погрешности измерения распределения толщины по длине изделия, а также условия оптимального измерения, если толщина изделия, изменяется случайным образом. Данные для расчета следующие:
• АКФ отклонения толщины изделия от среднего значения
где а-1 =тх= ljv\ Ix — длина корреляции; v — скорость движения изделия относительно детектора; — дисперсия изменения толщины. В соответствии с (10.16) этой АКФ соответствует СПМ сигнала в виде
S» = 2aa2/(a2+co2);
(2)
• мешающим фактором является белый шум со СПМ S®0 = 2Sn0;
• измерительный сигнал поступает на СИ с АФХ
Goo)) = #?/(?+jco), (3)
что соответствует ИПХ в виде g(t) = K?c~^ (см. (10.12)), где К — коэффициент преобразования СИ, который в рамках настоящей задачи K= 1; ?-1 = т — постоянная времени интегрирования СИ;
306
• измерение осуществляется узким коллиматором, для которого выполняются условия т»Ак, тх»Ак, при этом можно считать, что ИПХ КС gK(f) = 6(f);
• АФХ идеального канала сравнения G0(jco) = 1.
Решение. Для определения случайной погрешности измерения воспользуемся частотной моделью СИ (рис. 10.4), а также соотношением (10.5)
= ^ KM1 - «(ja.) I2^Co + -L J G(jco) I2JcO =
2л J
2аа
2 2
а + со
1-
? - jco со2
Ъ. 1
Jc0+-J
?
2 ? +jco
dfcO =
_ 1 ? 2а< я J0a2 + со2 ?2 + со2
ofco +
tt •>
'nO
2 ?2+co2
ofco .
(4)
Осуществив необходимые преобразования в (4) и использовав табличные значения интегралов (табл. П14), получим
2 2
8dyn = ах
а + ?
¦ +T0U
+ 4>п0 и *
Введя обозначения
а т
5> = 0) 4а2т,
52 =
^dyn
(5)
(6)
после соответствующих преобразований получим выражение для квадрата относительной погрешности измерения в виде
52 =
1
1 + ?
(7)
Эта погрешность зависит от отношения мощности сигнала к шуму у2 и соотношения которое определяет степень различия между постоянной корреляции измеряемой ФВ и постоянной времени интегрирования СИ. Минимум относительной погрешности найдем из (7), приравняв первую производную по переменной ? нулю:
^0 = Y- 1 «у при у» 1. (8)
При этом минимальное значение квадрата относительной случайной погрешности будет равно
