Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
получаем у - X = 23,89 > 17,8. Таким образом, и при двустороннем критерии нулевая гипотеза отвергается.
Пример 5.13. В таблице приведены массы продуктов, полученных на двух установках:
Установка 1 97,8 98,8 101,2 98,8 102,0 99,0 99,1 100,8 100,9 100,5
Установка 2 97,2 100,5 98,2 98,3 97,5 99,9 97,9 96,8 97,4 97,2
Определить, используя односторонний критерий Фишера, являются ли дисперсии масс продуктов, полученных на двух установках, значимо отличимыми друг от друга при уровне значимости 0,05.
Решение. Гипотеза H0 состоит в том, что <т2 = а2. Для каждой установки число степеней свободы равно 9. Для проверки гипотезы вычислим выборочные дисперсии: .S2 = 1,69 и .S22= 1,44. Составим отношение дисперсий F= /S2 = 1,69/1,44 = 1,17.
Из табл. П10 для q = 0,05 находим 7^^(9,9) = 3,18, что больше 1,17. Следовательно, гипотеза о незначимости различия дисперсий масс продуктов, получаемых с двух установок, принимается.
Пример 5.14. В каталическом реакторе распределение выходов продукта при использовании катализаторов А и В характеризуется следующими данными (см. таблицу):
Катализатор А Катализатор В
Среднее арифметическое хА= 1,219 хв= 1,179
Оценка дисперсии 5J = 0,208 5^ = 0,193
Среднеквадратическое отклонение 5, = 0,456 SB = 0,439
Число измерений 16 =15
134
Определить однородность (равнорассеянность) двух групп измерений, а также проверить гипотезу о равенстве их математических ожиданий (уровень значимости 0,05).
Решение. В качестве первой гипотезы примем, что aj = ов. Чтобы применить критерий Фишера о равенстве дисперсий, вычислим отношение дисперсий
sa _ 0,2080 ^-0193O-1,08 •
Из табл. ГШ при уровне значимости ? = 0,05, числе степеней свободы кА = пА- 1 = 15, кв = пв- 1 = 14 находим значение F095(15, 14) = = 2,46 > 1,08.
Таким образом, принимается гипотеза о незначимости отличия дисперсий и aj.
Теперь можно объединить выборочные дисперсии в соответствии с формулой (4.5), определив средневзвешенную дисперсию
е2 К -1)^+ ("в - l)sl _ 15 - 0,208 + 14 • 0,193 _
пл-\ + пв-\ 15 + 14 ' '
Разность между выборочными средними
Ax= хА -хв = 1,219- 1,179 = 0,04.
Для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий необходимо определить tA_B (см. (4.8))
= _VUL_ = Ш_. 7,742 = 0,691.
А~" Scb І "а+"в 0.448
Задаваясь доверительной вероятностью P= 0,95 (или уровнем значимости q = 0,05) при числе степеней свободы к = пА + пв - 2 = 29 по табл. П5, получаем /095(19) = 2,093. Поскольку t0 95 >tA_B, т.е. 2,093 > 0,691, то гипотеза о равенстве математических ожиданий двух групп измерений принимается.
Пример 5.15. При получении фосфора возгонкой из фосфата измерялась степень восстановления фосфата при четырех различных температурах. Результаты предварительной статистической обработки результатов измерений при разных температурах приведены в таблице. Определить, используя критерий Бартлетта, сохраняется ли точность анализа при изменении температуры.
135
Температура, *С kj=nr\ Ig^2 l/kj
Tx 1,72 5 8,60 0,2355 1,177 0,200
1,60 4 6,40 0,2041 0,816 0,250
T3 1,97 6 11,82 0,2945 1,767 0,167
Т* 2,37 8 18,96 0,3747 2,995 0,125
І 23 45,78 6,755 0,742
Решение. Необходимо определить, выполняется ли гипотеза о примерном равенстве дисперсий в каждой группе испытаний, каждая из которых характеризуется постоянной температурой.
В соответствии с формулами (4.10)-(4.12), произведя необходимые вычисления, получим
^2р = іГ = l'99, lg 5* = °'29, (ЛГ ~ L) lg s* = 23'0,29 = 6,874'
1/{N -L) = 1/23 = 0,0435,
L
где N = Y,np L = 4' >i
0 742-00435
В = 2,303(6,874-6,755) = 0,278; С = = 1 + 0,077 = 1,077.
В табл. П7 находим при трех степенях свободы и уровне значимости q = 0,05 Xq 95 = 7,82. Величина В<х20 95 и, следовательно, на уровне значимости ? = 0,05 можно принять гипотезу о равенстве генеральных дисперсий по оценке выборочных дисперсий.
Таким образом, критерий Бартлетта позволяет считать, что точность анализа не зависит от температуры. Выборочные дисперсии однородны, поэтому в качестве оценки для дисперсии рассеянности результатов анализа можно взять средневзвешенную дисперсию Sln с числом степеней свободы, равным 23.
ср
Пример 5.16. Показать, что для некоторых измерительных задач объединение результатов измерений в пары позволяет уменьшить выборочную дисперсию [12] (дисперсия воспроизводимости [33]). Дать объяснение этому эффекту.
Допустим, что некоторый продукт производится на двух различных установках № 1 и 2. Этот продукт имеет несколько показателей, характеризующих его качество. Предполагается, что одна из специфических характеристик (например, плотность) для продукта, производимого на указанных установках, имеет одно и то же
136
значение, исключая нормальные случайные отклонения. Полагается также, что продукты одинаковы в смысле равенства математических ожиданий исследуемой специфической характеристики.
Результаты измерений приведены во 2-м и 3-м столбцах таблицы. Измерения проводились попарно на каждой установке, всего 20 измерений (по /w=10 измерений на каждой установке).
п/п Характеристика продукта, полученного на установке Nq 1, Jt1 Характеристика продукта, полученного на установке Nq 2, X2 Разность Ax = X1-X2 Ax2
