Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
^x1 — оценки CKO результатов измерения. В общем случае коэффициенты bj вычисляются через функции влияния bj = dF/dXj.
Как видно из формулы (6.3), погрешность косвенных измерений может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от знака коэффициента корреляции.
Наилучшей оценкой результата косвенных измерений является величина функции F при аргументах, принимающих среднеарифметическое значение
Y = F(xv X29 хт) = F(X19 X29хт) = F. (6.4)
Если погрешности измерения аргументов статистически независимы, т.е. коэффициенты корреляции а#=0, то соотношение (6.3) записывается в виде
т
Sj = ILb)Sl. (6.5)
У=1
При ограниченном числе измерений (при л*оо) в соотношениях (6.3) и (6.5) оценки дисперсий Sx- и коэффициента корреляции определяются по формулам J
Sl=-r4\i(xJ-*j)2> (6'6>
XJ п(п - 1) Дv J J/
^»(-41?^"^"4 (67)
Критерием отсутствия связи между аргументами является выполнение неравенства
1 ч/
<tq9 где / - ^-процентная квантиль распределения
Стьюдента. Если измеряемая величина Y зависит от т аргументов, то проверяют отсутствие корреляционных связей между всеми парными сочетаниями аргументов.
Доверительные границы случайной погрешности результатов косвенных измерений при числе измерений п > 25 и нормальном распределении случайных погрешностей аргументов можно рассчитывать, используя нормальное распределение (табл. ПЗ и П5). При меньшем числе измерений для определения доверительного интервала используется распределение Стьюдента, эффективное число степеней свободы которого (при малом числе нормально
152
распределенных результатов измерений) рассчитывается по приближенной формуле [3, 10, 14, 15]
( т
Yb2Sl
JLd j X
^эф т і
У —!—64S4.
2 =
W==1 )
т і
У —-—ЕА
•2,
(6.8)
где иу — число прямых измерении каждого из аргументов величи-
ны Q., Ej= bjS- или в общем виде Ej =
xj
Если предполагается, что распределение результата измерения не противоречит нормальному, то результат косвенного измерения записывается в виде
У = У ± б(P) при P =...%,
(6.9) (6.10)
где tp — коэффициент, соответствующий доверительной вероятности P (по таблицам распределения Стьюдента П5 и П6, а при большом числе измерений или известных CKO по таблицам нормального распределения ПЗ и П4).
Если при измерении аргументов ху. имеют место систематические погрешности, то они должны быть исследованы и по возможности устранены. Однако, как известно, полностью устранить систематические погрешности не удается и остаются неисключеннные систематические погрешности аргументов xi и результата измерения У. Границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения вычисляют следующим образом.
Если неисключенные систематические погрешности результатов измерений заданы своими границами 0у., то доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения 0(P) при линейной зависимости (6.1), (6.2) вычисляют по формуле
%{Р) = ±кЩ&},
(6.11)
где к — коэффициент, определяемый доверительной вероятностью P и числом т составляющих неисключенных систематических погрешностей для данного у'-го аргумента. Так же как и для формулы (4.2), к(P= 0,95)= 1,1 и к(P= 0,99; т>4) =1,4. При т<4 поправочный коэффициент можно найти в табл. П15 или по гра-
153
фику к = к(т, /), где / — параметр, зависящий от соотношения границ составляющих (рис. 4.1).
Если границы неисключенных систематических погрешностей результатов измерения аргументов заданы доверительными границами с соответствующей этим границам вероятностью Р., то границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения для вероятности P вычисляют по формуле
e(p)s±*Jy?^4r' (6Л2)
где суммирование производится по всем т аргументам.
Погрешность результатов косвенного измерения оценивают на основе композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей.
Формулы для оценки суммарной погрешности косвенных измерений при различных соотношениях между дисперсией случайной погрешности Sy и неисключенной систематической погрешностью Q(P) (q(p)/Sv=\) [5, 14-16]:
A(P) = z(P) = tpS? приХ<0,8, (6.13)
где tp определяется по табл. П5 и П6;
Д (P) = К [г (P) + 0 (P)] при 0,8 <Х < 8, (6.14)
где коэффициент К определяется по табл. 6.1:
A(P) = Q(P) при Х>8. (6.15)
Таблица 6.1
X 0,5 0,75 1 2 3 4 5 6 7 8
^0,95 0,81 0,77 0,74 0,71 0,73 0,76 0,78 0,79 0,80 0,81
^0,99 0,87 0,85 0,82 0,80 0,81 0,82 0,83 0,83 0,84 0,85
При симметричной доверительной погрешности результаты измерений представляют в виде
Y= Y±A(P) при Р=...%. (6.16)
При отсутствии данных о виде функции распределений составляющих погрешности результат измерения записывают в виде У, S7, п, Q(P).
154
6.1.3. Основные соотношения при нелинейной зависимости
При нелинейных зависимостях и некоррелированных погрешностях измерений аргументов используют метод линеаризации, который предполагает разложение нелинейной функции в ряд Тейлора:
= F(x
p а2>
F{x\> х2> •••> Хт) ~
ml P1
' Хт)
AXj + Я,
(6.17)
где AXj — отклонение результата измерения аргумента ху. от среднего арифметического; R — остаточный член.
