Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
Критерий Бартлетта специально предназначен для оценки допустимости экспериментального рассеяния CKO для более двух групп измерений.
Следует подчеркнуть, что указанные критерии устанавливают равенство дисперсий в группах измерений с определенным уровнем значимости (0,01—0,1) по экспериментальным оценкам дисперсий.
После того как установлена равнорассеянность групп измерений, необходимо оценить, используя способ последовательных разностей, или метод Фишера, или метод Стьюдента (разд. 4.1.2), имеется ли в экспериментальных рядах измерений смещение (изменение) среднего арифметического, и если оно имеется, то можно ли его признать как незначимое с заданным уровнем значимости или с заданной доверительной вероятностью.
Если устанавливается, что различия в средних и дисперсиях групп измерений допустимы (незначимы), то вычисляют общее среднее арифметическое по формуле для X (см. разд. 4.2.1) и среднюю дисперсию по формуле (4.5).
5*
131
Поскольку подходы к решению задач о наличии систематической погрешности в ряду измерений и подходы к определению однородности и равнорассеянности групп измерений подобны, в качестве примеров этого раздела можно рекомендовать примеры 4.9-4.13.
2. Иногда ставится задача сравнения результатов двух или более опытов (испытаний), чтобы установить, повлияло ли изменение, внесенное в конструкцию или схему установки, на ее метрологическую характеристику (MX), или влияет ли температура на выход продукта при химической реакции, или изменилось ли число отказов оборудования после проведенной модернизации и т.д. При этом дисперсии измерения не изменяются (или проверка гипотезы об их равенстве подтверждается). Рассмотрим примеры, в которых ставятся подобные задачи и которые решаются с помощью упомянутых выше методов и критериев.
Пример 5.11. Поскольку часто сравнение значимости различия результатов измерений проводится по формуле (4.8), то поставим задачу получения соотношения для оценки различия средних арифметических x1 и Jc2 независимых выборок двух групп измерений /i1 и й2 в предположении, что:
1) распределение выборок нормально и их математические ожидания и дисперсии соответственно равны (/W1; т2) и (Q1; а2);
2) проверка гипотезы о равенстве дисперсий и S2 показала, что их можно считать примерно одинаковыми OS12« S2), т.е. можно предположить, что и дисперсии выборок равны (а2 = а2 = а2).
Таким образом, необходимо получить соотношение для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий двух групп измерений при их равноточности.
Решение. С учетом условий 1 и 2 можно считать, что разница двух средних Ax = X1 - X2 также распределена по нормальному закону и это разностное распределение можно охарактеризовать суммарной дисперсией разности средних:
относительно математического ожидания т = т{ - т2 = 0 (в соответствии с гипотезой о равенстве математических ожиданий двух групп измерений).
С другой стороны, оценку дисперсии а двух групп измерений в соответствии с (4.5) можно вычислить по формуле
-= (j — н--— (у -
(1)
л, /j2 я, K2
132
для к = кх + к2 = Ai1 + Ai2 - 2 степеней свободы, кх = Ai1 - 1, к2 = Ai2 - 1.
Следовательно, оценка дисперсии среднего разностного распределения будет равна
~ Sl-2
(пх+п2)_{пх - I)S2 + (Ai2 -1)Д
AIj + Al2
V л1л2 J AI1 + Al2 — 2
и отношение Z1-2 =(^-0)/5— будет иметь /-распределение с
к = + к2 = Ai1 + Ai2 - 2 степенями свободы.
Таким образом, для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий необходимо вычислить величину
'1-2 =
I AX j J X1 - Х2| I л1я2(я1 + П2 ~ 2)
Далее, задаваясь определенной доверительной вероятностью P или уровнем значимости q = 1 - Р, по табл. П5 находится соответствующее значение /р, и если tx_2 < /р, то гипотеза о равенстве математических ожиданий двух групп измерений принимается с уровнем значимости q. В противном случае гипотеза отвергается.
Пример 5.12. Сравнить результаты двух химических опытов по получению полимеров с помощью различных веществ, в каждом из которых было проведено по восемь измерений (Al1 = Al2 = S). Средний выход полимера в первом опыте составил х =67,72%, а во втором — у =91,61%. Среднеквадратическая погрешность измерений в экспериментах составила S= 16,6%. Сравнение провести при уровне значимости q = 0,l-
Решение. В качестве нулевой (исходной) гипотезы рассматривается равенство средних выходов полимеров. Поскольку средний выход полимера во втором опыте заметно выше, чем в первом, то для оценки значимости различия средних используем односторонний критерий. При числе степеней свободы /:=8 + 8- 2= 14 и 9 = 0,1 по табл. П5 найдем J09= 1,345 (так как критерий односторонний, то tQ9 в табл. П5 равен Z08 = 1,345 для двустороннего критерия). Вычисляя по (4.8) при Sx = S2 = S
V1+^= 1,345 * 16,6 Я4=11Д6,
133
получаем у - X = 23,89 > 11,16. Следовательно, при 10%-ном уровне значимости нулевая гипотеза о равенстве выходов полимеров в этих опытах должна быть отвергнута.
Если для проверки нулевой гипотезы использовать двусторонний критерий, т.е. «не замечая», что выход полимера во втором опыте заметно выше, чем в первом, то при к = 14, #=0,1 найдем по табл. П5 tQ 95 = 2,145. Вычисляя
