Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
Распределение результатов измерений считается отличным от нормального, если не выполняется хотя бы один из рассмотренных критериев. Уровень значимости составного критерия q< q{ + q2 или вероятность того, что распределение результатов измерений нормально, P=X - q.
Пример 5.5. Проверить гипотезу о нормальности распределения небольшой группы измерений, результаты которых приведены в таблице:
№ Измеренная ФВх{ Случайное отклонение от среднего V ю-3 V1? • 10-* № Измеренная ФВх{ Случайное отклонение от среднего V ю-3 V2 • 10-6
1 8,906 -13 169 13 8,914 -5 25
2 8,915 -4 16 14 8,925 6 36
3 8,913 -6 36 15 8,923 4 16
4 8,921 2 4 16 8,917 -2 4
5 8,925 6 36 17 8,918 -1 1
6 8,929 10 100 18 8,921 2 4
7 8,917 -2 4 19 8,920 1 1
8 8,915 -4 16 20 8,920 1 1
9 8,919 0 0 21 8,914 -5 25
10 8,914 -5 25 22 8,917 -2 4
11 8,921 2 4 23 8,916 -3 9
12 8,920 1 1 24 8,935 16 256
118
Решение. 1. Для проверки гипотезы с помощью составного критерия предварительно вычислим среднее
X= = 8,91896 «8,919
п
и смещенную S*h несмещенную S оценки CKO (v, = х. - х)
2. Для проверки гипотезы о нормальности распределения по первому критерию вычислим статистику
24
rf.S'V1. 103-10"3 3 -0,746 nS 24 • 5,75 • Ю-3
и при заданном уровне значимости qr = 0,02 и числе измерений л = 24 находим из табл. П11 квантили d0 01(0,Sq1) = 0,897 и </0>99(1 -0,5?,) = 0,690.
Сравнение статистики d с квантилями показывает, что 0,690 < d = = 0,746 < 0,897. Это означает, что в соответствии с первым критерием (при уровне значимости 0,02) результаты измерений распределены по нормальному закону.
3. Для проверки нормальности распределения в соответствии со вторым критерием необходимо оценить допустимое число абсолютных разностей результатов измерений \xi - х | при заданном уровне значимости, превысившем уровень z05^l+P)S. При д2 = 0,02, п = 24 находим по табл. П12 P= 0,98, т = 2. По табл. П4 находим значение квантили Z0 5^+Р) = Z099 = 2,3267 и значение произведения Z099S= 2,3267 • 0,00587 = 0,01366 = 13,6 • 10"3. Анализ результатов измерений, приведенных в таблице, показывает, что только результат под номером 24 превышает 13 • 10~3, что допустимо, чтобы признать распределение результатов измерения близким к нормальному в соответствии со вторым критерием при уровне значимости 0,02 (в соответствии со вторым критерием можно допустить превышение двух измерений).
4. Таким образом, оба критерия говорят о том, что распределение полученных экспериментальных данных можно признать нормальным с уровнем значимости q<qx + д2 = 0,04. Однако, если бы хотя бы один из двух критериев не был бы удовлетворен, распределение нельзя было бы признать нормальным.
119
Другие методы проверки нормальности распределения. Рассмотрим примеры, в которых для проверки гипотезы о нормальности распределения результатов измерения используются критерии оценки моментов нормального распределения, метода Колмогорова и непараметрического метода оценки.
Пример 5.6. Размер частиц никелевого катализатора измерен с точностью до 1 мкм. На выборке объемом п = 200 проверить, подчиняется ли распределение размеров частиц нормальному закону. В табл. 1 приведены отклонения размеров частиц катализатора от номинального, результаты сгруппированы в 10 интервалов длиной h = 5 мкм.
Таблица 1
Интервал h Границы интервала Xi-\~Xi Середина интервала хі Число точек в интервале тх Относительная частота р
1 -20 -15 -17,5 1 0,035
2 -15 -10 -12,5 11 0,055
3 -10 -5 -7,5 15 0,075
4 -5 0 -2,5 24 0,129
5 0 5 2,5 49 0,245
6 5 10 7,5 41 0,205
7 10 15 12,5 26 0,130
8 15 20 17,5 17 0,085
9 20 25 22,5 7 0,035
10 25 30 27,5 3 0,015
Решение. 1. Вначале проверим гипотезу нормального распределения размера частиц катализатора, определив коэффициенты асимметрии и эксцесса. Известно, что для нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю [3, 5, 33].
Выборочные коэффициенты эксцесса и асимметрии определяются по формулам [33]
1
1 VV -\3
/=1
Y2 =^ = -^1(*/-*)4-3-
nSx м
(2)
120
Известно также, что дисперсии этих величин равны
дек 6{";\у о)
Х 17 (П + I)(Al + 3)
V ' (/i + l)2(/i + 3)(/1 + 5)
Зная оценки дисперсий D{y{) и Z)(у2), можно определить, значимо ли выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса отличаются от нуля. Если
|yi|<3^>(^> (5)
Iy21 < 5V^)- (6)
то наблюдаемое распределение можно считать нормальным.
В табл. 2 приведены предварительные вычисления для определения выборочного (оценок) среднего, дисперсии, третьего и четвертого моментов случайной величины х по формулам
X=J^p1X9 SI=Zp1[X1-X) , Рз=1л(*,-*) > и4 = Ел(*/-*) >
/=1 /=1 /=1 /=1
где /?* — относительная частота, определяемая формулой р*= mjn.
В результате вычислений получим х=4,30 мкм, JTx= 9,71 мкм, P3 =-114,2 мкм3, |i4 =25 375 мкм4. Определим по формулам (1) и
(2) коэффициенты асимметрии и эксцесса Y1 =0,1247, у2 =0,1455, а по формулам (3) и (4) оценки дисперсий
24-20(200-2)(200-3) ^034.
v 21 (200+ 1)2(200+ 3)(200+ 5) v ;
Таким образом, используя формулы (5) и (6), имеем 3^/^0 = 0,51; I у,! = 0,1247 <3^Dfo), 5р{у2) = 1,70; I y2| = 0,1455 < 5р{у2).
