Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, свертка двух равномерных распределений с одинаковыми пределами изменения погрешностей приводит к треугольному закону распределения вероятности суммарной случайной погрешности (рис. 2.9, б). При этом область изменения погрешности л находится в пределах ±2а, а при л = 0 і|/(л) = 1/2а:
50
у(л) =
1
(л - 2а), О < г| < 2а,
4а
О,
4а2
Ц-(л + 2а), -2а<А<0,
г| < 2а, г| < -2а.
Пример 2.16. Погрешность измерения представляет собой сумму двух погрешностей, имеющих равномерное распределение плотности вероятности в диапазоне ±а и ±?, причем ? > а.
Определить распределение суммарной погрешности измерения и диапазон ее изменения. Рассмотреть случаи, когда а = ? и ? < а.
Решение. Плотность вероятности суммарного распределения погрешности вычисляется, используя интеграл свертки (2.21)
где
У(л) = Ja(8i)^(1I - S1JdS1, л = S1 + 5
—ОО
1/2а, |б,| < а,
2>
о,
S1 > а, 2V 27 О, S2 >?.
Области интегрирования показаны на рис. 2.10, о. По оси S1 области интегрирования соответствуют ±а, так как только в этой области функция ^1(S1) не равна нулю. Область, в которой функция P2(S2) не равна нулю, расположена между граничными прямыми в координатах S1 и S2: л - ? = S1 и л + ? = S2. Проведя интегрирование, получим
ш.(л > 0) = 4J1(Ti < 0) = \——dx = -—X yiV 1 ; _J 2а 2? 4a?
2?*
1
4a?
а 1
V3(t1>?-o)= J — dx =
Л+? J J
vi/.(л < а - ?) = f -—dx = -—X Y4V 1 H' _J 4a? 4a?
л+?
4a?
h-(« + ?)],
4a?
h + (a + ?)].
Результирующая плотность вероятности суммарной погрешности имеет вид трапеции (на рис. 2.10, б) высотой l/2? с нижним основанием, равным 2 (а + ?), и верхним основаним, равным 2 (?-a).
51
а б
Рис. 2.10. Области интегрирования при наложении двух равномерных распределений с основаниями ±а и ±? при ? > а (а) и результирующее распределение (б) плотности вероятности Ц/(Г|)
При а = ? распределение плотности вероятности из трапеции преобразуется в равнобедренный треугольник с основанием, равным 4а, и высотой 1/2а. Диапазон изменения суммарной погрешности ±2сс (см. пример 2.15).
При а > ? из-за симметрии задачи распределение плотности вероятности будет иметь также вид трапеции, но высотой 1/2а и верхним основанием 2 (а - ?).
Пример 2.17. Суммарная плотность вероятности двух случайных равномерно распределенных погрешностей измерения имеет вид треугольника с основанием ±а и высотой 1/а (рис. 2.11, а). Найти результирующее распределение погрешности измерения, если указанная выше суммарная погрешность складывается с третьей случайной погрешностью, имеющей равномерное распределение в диапазоне ±сс (рис. 2.11, б).
Решение. Для нахождения результирующего распределения v|/(r|) = v|/(8j + 82) (композиции) воспользуемся интегралом свертки (2.21), где
52
Pi'
A/a
Pu/ \Pl2
I \
-a O ' a
Pl
l/2a
O a 62
а б
Рис. 2.11. Треугольное распределение Симпсона, полученное наложением двух одинаковых равномерных распределений (а), и равномерное распределение, суммируемое с распределением Симпсона (б) в примере 2.17
Pn = а8х + Ъу - a < 6j < О, P12 = -abx + 0 < S1 < а,
О,
P2(S2)
|51|>а'
1 I* I* —, O2 < а,
2а 1 1
О,
S2 > а.
Из условия нормировки площади треугольного распределения, т.е. равенства ее единице, получим а = 1/a2, ? = 1/а. Тогда
>"<о.>4(И' *Ь(«.)-^-'}
Области интегрирования показаны на рис. 2.12,0. По оси S1 области интегрирования соответствуют ±а, так как только в этой области функция ^1(S1) не равна нулю. Область, в которой функция P2(S2) не равна нулю, расположена между граничными прямыми в координатах S1 и г\: г\-а = 5х и T^a = S1. При интегрировании область изменения S1 от -а до а разбивается на две области: от -а до 0, в которой рп = ^S1 + Ь, и от 0 до а, в которой рХ2 = -аЬх + Ь. Проведя интегрирование, получим следующие составляющие результирующего распределения i|/(r)):
V1(O < л < a) = J ^Лі(8і)йі+1^гЛ2(8і)*і =
л-а za о za
о
Ja2a2(a +1) 1 J02a
n-a
2a
I + I]Ob1 +j 1
1 '-«L + 1UB1-a 1
v
2a2
+ 1
)
4a
2+ 1
v
a 1 a 1
Ч/2(а<л<2а)= J —^(5,)^8, + J
2a :
п-а
I2I 1
a 1
4aJ
a
a
53
а б
Рис. 2.12. Области интегрирования при наложении распределений, приведенных на рис. 2.11 (д), и результирующее распределение (б) плотности вероятности ц/(г|)
Результирующее распределение (рис. 2.12,6), состоящее из суперпозиции трех равномерно распределенных распределений уже напоминает нормальное распределение, к которому согласно предельной теореме теории вероятности должно стремиться распределение, представляющее собой суперпозицию большого количества «не нормальных» распределений.
Пример 2.18. Масса груза измеряется по частям — сначала измеряется одна его часть, а затем другая. Известно, что результаты измерения и погрешности измерения распределены по нормальным законам с дисперсиями G1 и а2. Получить распределение плотности вероятности суммарной погрешности измерения общей массы груза vj/(r|).
54
Решение: По условиям задачи суммируемые распределения имеют вид
і
ехр
52 \
2а?
и P2(S2)
