Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
1
ехр
2al
Используя интеграл свертки (2.20), получаем
4>(л) = JPi(S1)P2(1I - 8іИі = Т—- J ехР
_ 2паха2
Преобразовав показатель степени к виду
(Л"8,)2
2ст
2о?
(л-S1)2
2а^
2а]о\
ст1 -
CT, +CT2
T8I +
2ст2
2 2 Л pi
„2 , 2 CTj + CT2
dB,
7я\в\
( 2> ( 2Л 2 2"
8 Лаі + Л <?i
0I 2 2
I а J I ст J CT
2а2а2
G1 -л-Ч
где а2 = а2 + а2, и использовав табличное значение интеграла (см. табл. ПИ, П14), получим
ч>(л) =
27ia1ct2
ехр
2а2
J ехр
2а2а2
Ла
2\
G-JItC
ехр -
2а2
Таким образом, свертка двух нормальных распределений плотности вероятности приводит также к нормальному распределению с дисперсией, равной сумме дисперсий этих распределений.
Пример 2.19. Использовав аппарат характеристических функций, получить распределение плотности вероятности суммы двух погрешностей і|/(л), каждая из которых имеет нормальное распределение вероятностей с дисперсиями, равными G1 и а2 соответственно.
Решение. Используя преобразование (2.22), получаем характеристические функции для первого и второго нормального распределений в виде (см. табл. П14)
G1(W) = ехр
2_2 Л
UG
и G2(w) = ехр
2_2 Л
UG
55
Характеристическая функция суммарного распределения равна произведению функций (2.24) 0(W) = G1(W)G2(W). Обратное преобразование Фурье от характеристической функции позволяет получить распределение плотности вероятности суммы двух погрешностей измерения (при G2J + а2 = а2):
w2
-y(a2+a2)exp(-jnw)rfw
J СО 1 00
Р^=2п I O(")exP(--Mdu=— \ ехр
-00
1
ехр
( ї \
гл/2я
2а2 j
Пример 2.20. Для равномерного закона распределения результатов измерения, заключенных между значениями ±1, определить характеристическую функцию и, используя соотношение (2.26), первый и второй моменты распределения.
Решение. Используя преобразование (2.22) или табличное значение (табл. П14) при сс = -1 и ?= 1, получаем следующее выражение для характеристической функции:
Л/. ч ъ)и - ег')и cos w + j sin w — cos w + j sin w sinw
0 (]U) = -—- =---—--- = -.
v ; 2jw 2jw и
Определим с помощью соотношения (2.26) первый центральный момент, вычислив первую производную
_ 1 Л (ji/) _ 1 (cosw)w - sinw 1 и(і - «2/2) -(и- и3/б)
Ці^"7 du "7 w2 7 w2 "^°
При вычислении использовались разложения sin и и cos и в ряд Тейлора вблизи нуля.
Определим с помощью соотношения (2.26) второй центральный момент, также воспользовавшись для получения результата разложением sin и и cos и в ряд Тейлора вблизи нуля:
г _ 1 cf2G(jw) _ и2 sin w + 2wcos w - 2 sin и 1
Ц2Н = 7~dlT= ? -о і •
Поскольку первый центральный момент равен нулю, то второй центральный момент равен дисперсии.
2.2. ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ
Задача 2.1. Результаты измерений соответствуют плотности вероятности в виде распределения Эрланга:
/>(*) = JL xVx/fl, 0<Х<оо. 2а
56
Найти математическое ожидание и CKO результатов измерений. Ответ. М[х] = За; a = yJD[x] = ау[3.
Задача 2.2. Результаты измерений подчиняются гамма-распределению с плотностью вероятности
р(х) = —-7-7—, 0<х<оо. Г(а)
Найти математическое ожидание и CKO результатов измерений. Ответ. M[х] = cc/?, а = y]D[x] = Vfl/?.
Задача 2.3. Результаты измерений подчиняются х-распределе-нию с плотностью вероятности
х*-1е-0,5*2
р(х) = —г-с—:-, 0<х<оо.
^ > 20^r(O»
г л Г [0,5(/1 + 1)1 г л , r ll2
Найти математическое ожидание и дисперсию результатов измерений.
-і /JiYi=M-^MIrI12
(0,5л)
Задача 2.4. Плотность вероятности случайной величины х имеет распределение Лапласа:
р (х) = (0,5X) ехр (-ХIXI), X > 0.
Определить математическое ожидание и дисперсию величины х.
Ответ. тх = 0, Dx = 2/Х2.
Задача 2.5. Сообщение передается квантованными по амплитуде импульсами с шагом квантования 1 В, погрешность которого равномерно распределена в пределах интервала квантования с нулевым средним значением. Определить дисперсию (мощность шума квантования) погрешности квантования.
Ответ. D= с2 = (1/12) В2.
Задача 2.6. При измерении напряжения переменного тока u(t) = /1 sin (cor+ ф) вольтметром, проградуированным в эффективных значениях, стрелка вольтметра из-за наличия помех равномерно колеблется между значениями W1 и U1. Определить среднее значение ти показаний вольтметра и относительную погрешность S = ou/mu измерения амплитуды напряжения u(t), где аи —- CKO напряжения от среднего значения.
л W1 + щ CT W1 - W0
Ответ. ти = 1^2, 8 = -^ = -—1-
2 ' ти (w1+w2)V3 57
Задача 2Л„ Определить математическое ожидание и дисперсию сигнала синусоидальной формы x = Asin((ut+(p), у которого фаза ф является случайной величиной, изменяющейся равномерно от (P1 = -п/2 до ф2 = Зя/2, со и / — неслучайные величины.
Ответ. тх = 0, Dx = A2/2,
Задача 2,8. Случайная величина ф равномерно распределена в интервале от 0 до 2п. Определить математическое ожидание и дисперсию величины х = А cos2 (со/ + ф), со и / — неслучайные величины,
Ответ: тх = А/2, Dx = A2?.
Задача 2,9. Распределение случайной погрешности измерения дальности до неподвижного объекта подчинено нормальному закону распределения плотности вероятности с математическим ожиданием тъ = 5 м (систематическая погрешность) и дисперсией 100 м2. Определить вероятность P того, что измеренное значение дальности отклонится от истинного не более чем на 15 м.
