Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
Пример 2.5. Допустим, что случайная погрешность 8 имеет Х2-распределение плотности вероятности в виде
р(5) = 5°>5п-1е-°>5*/20>5пГ(095п)9 0 <8 <оо.
Определить математическое ожидание и СКО. Решение. В соответствии с определением математического ожидания (см. табл. П14)
M[S] = /5/7(5)^/5 = /50'5ле-0'55
1
20'5" Г (0,5л)
-db =
Г(0,5,2 + 1)
2°'5лГ(0,5л) 0,5°'5л+1
= п.
Дисперсию определим по формуле (3) примера 2.1. Для этого вычислим интеграл
Г (0,5,2 + 1)
lb2p(b)db = -7пг-і-?8°'5л+1е-°'58</8 = 0, 1
J ^ 20'5wr(0,5«)J0 2°'5лГ(0,
(0» 0,5°'5л+2
= л(л + 2). Тогда D [8] = ,2 (,2 + 2) - ,22 = 2,2.
Пример 2.6. Плотность вероятности погрешности измерения физической величины имеет вид р (8) = осе_р'5', где а и ? — постоянные величины, a 8 изменяется от -оо до +оо. Определить соотношение, которому должны удовлетворять постоянные аир, интегральную функцию распределения погрешности, представить графически интегральную и дифференциальную функции распределения погрешности измерения при ? = 2.
42
Решение. Для нахождения соотношения между параметрами а и ? воспользуемся условием нормировки для плотности вероятности, в соответствии с которым площадь под кривой плотности вероятности должна равняться единице (2.3). Поскольку переменная 8 представлена модулем, то для вычисления площади разобьем интеграл на две части — при 8 > 0 и 8 < 0:
OO оо О <-ч
\p{b)db = Jae-?5</5 + Jae?5<? = - = 1,
-СО 0 -00 P
откуда получаем 2а = ?. Определим интегральную функцию. В со-
Z
ответствии с ее определением F(z) = jp (S) dS. Этот интеграл так-
-QO
же вычислим отдельно для области положительного и отрицательного изменения аргумента 8:
F(z) = } аер5</8 = -^ер< при 8 < О,
-ОО
F(z) = \ + ]ae-VbdS = l-\e-*z при8>0. 2O 2
При ? = 2, а = 1 />(8) = ехр(-2|8|), и тогда интегральная функция будет иметь вид
0,5 е2г, z < О, 0,5(1 - е-2г), г > 0.
Дифференциальная и интегральная функции распределения погрешности измерения представлены на рис. 2.6.
а б
Рис. 2.6. Дифференциальная (а) и интегральная (б) функции распределения
примера 2.6
43
Пример 2.7. Интегральная функция распределения результатов измерения F(x) представлена на рис. 2.7. Определить аналитическое выражение для F(x), вероятность того, что ФВ примет значения от 3,5 до 4,5, а также построить график плотности распределения р (х).
0,5-
5 6 7
4567* 01234
а б
Рис. 2.7. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции распределения
примера 2.7
Решение. 1. Как видно из графического представления функции F(x) на рис 2.7, она равна нулю при х<Ъ и единице при х>5. Для определения функции в диапазоне от Xj=3 до X2=S запишем аналитическое уравнение прямой между точками с координатами X1 = 3, ух = 0 и X2 = 5 у2 = 1 в виде
_ У-Ух У\
X2 -хх
Уі
преобразовав которое, получим
y=F(x) = 0,5 (jc-3).
Таким образом,
0, je < 3, F(jc) = <0,5(jc-3), 3<jc<5,
1, jc> 5.
2. Поскольку в соответствии с определением функция плотности вероятности р (jc) = dF(x)/dx9 то получим
0, je ^ 3,
/>(*) = <0,5, 3<х<5,
0, je > 5.
3. Вероятность попадания результата измерения в интервал от 3,5 до 4,5 равна площади, заключенной между этими значениями на графике р(х), или разности /'(4,5)-^(3,5) = 0,75-0,25 = 0,5 (рис. 2.7).
44
Пример 2.8. Абсолютное значение погрешности измерения равномерно распределено в интервале от -1 до 1. Причем на границах этого интервала, т.е. в точках 8 = ±1, вероятность равна 0,25.
Определить функции дифференциального и интегрального распределения вероятности погрешности, а также вероятность того, что погрешность попадет в интервал от -0,5 до 0,5.
Решение. По условию нормировки вероятность P(a <ь< 1) = = P(a) + P(a < 5 < 1) + P(I) = 1, агкуца P(a <8 < 1) = 1 - 2 • 0,25 = 0,5. Плотность вероятности р (а < 8 < 1) = 0,5/2 = 0,25. Таким образом,
0, 8 < -1, 0,25, 8 = -1, 0,25, - 1 < 8 < 1, 0,25, 8 = 1, 0, 8 > 1.
Из условия задачи видно, что интегральная функция имеет скачки в точках 8 = ±1, равные 0,25. Определим зависимость интегральной функции в диапазоне от -1 до 1:
5
F(6) = Р(д = -1) + \0,25dz = 0,25 + 0,25(8 + 1) = 0,25(8 + 2).
-і
На рис 2.8 представлены дифференциальная и интегральная функции распределения вероятности погрешности F(5). Вероятность попадания результатов измерения в интервал от -0,5 до 0,5 будет равна P (0,5 < 8 < 0,5) = F(0,5) - F(-0,5) = 0,25.
Рис. 2.8. Дифференциальная (а) и интегральная (б) функции распределения
примера 2.8
Пример 2.9. Плотность вероятности результатов измерения ФВ соответствует распределению Лапласа с математическим ожиданием тх
р(5) =
45
р(х) = 0,5Х^х~т^ приХ>0.
Определить дисперсию случайной погрешности результатов измерения.
Решение. Поскольку распределение симметрично относительно своего математического ожидания, то вычислим дисперсию погрешности с помощью соотношения (2.6) (см. табл. П14):
a2 = ]s2p(8)d&= j520,5^e"x|5|J5 = 0,5^j52eX5J5 + 0,5xj52e-X5J5 =
-со -со -со О
Г(3) 2
= 0,5XJ y2c~Xydy - 0,5lJ52e~™d& = XJ82e~^d8 = X-
Xі X2
После третьего равенства в интеграле произведена замена переменных у = -8, а затем изменены пределы интегрирования. Таким образом, дисперсия равна 2Д2.
