Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
34
О 5
Рис. 2.4. Нормальное распределение погрешности измерения при различных среднеквадратических отклонениях
х2 J х2
Р(х{ < X <: X2) = Jp(x)dx = —J= Jexp
X1 ^>/2я Х]
{Х~тх)
2"»
2а2
dx. (2.12)
Этот интеграл не выражается в элементарных функциях, и его вычисляют с помощью таблиц. Для упрощения формы записи и приведения ее к виду, удобному для пользования таблицами, осуществляют замену переменных:
x-mv
= t\
mY X1- mY х — t - 1 х = /
1» ~ 2*
(2.13)
а а а
При этом получают следующее выражение для вероятности (2.12):
1 '2
Р(х{ <х< X2) = -^= Jexp
V 2J
dt =
4ьї
J exp
K2J
dt
) expf-i-
dt
Ф(ґ2)-Ф(ґ,). (2.14)
Дифференциальная функция распределения
1
Ля
ехр
( гг\
(2.15)
является нормированной функцией распределения погрешности (табл. П2). Для вычисления вероятности используют табулированные значения интеграла вероятности (табл. ПЗ, П4):
ф(г) = ЖІехр
( ^
ч 2/
dt.
(2.16)
35
В силу симметрии распределения и равенства площади под кривой распределения единице
Ф (Z) = 1 - Ф (-Z) и Ф(-г) = 1 - Ф (z). (2.17)
Вероятность попадания результатов измерения (или погрешностей) в симметричный интервал ±z:
P(-z<b< z) = Ф(Z)-ФЫ) = Ф(z)~ I+ Ф(z) = 2Ф (z)-l. (2.18)
Другие распределения и их основные характеристики приведены в табл. Ш.
Часто для определения вероятности (2.12) используют табулированные значения функции Лапласа [4—7]:
і }
Жехр
dt.
2.1.2. Преобразование функций распределения вероятности
Если две случайные величины, например результаты измерений (или погрешности измерения), связаны между собой непрерывной функцией y=f(x), то плотность вероятности распределения случайной величины у [7, 8]:
dx
dy
p[g{y)^g\y)
(2.19)
где X = g (у) — функция, обратная функции y=f(x).
Математическое ожидание и дисперсию случайной величины y=f(x) можно определить по формулам
00 00 2
ту = jw{y)dy, <У2У = і (у-ту) v{y)dy (2-20)
—00 —оо
или с помощью более простых для вычисления формул
00 00 2
ту = !f(x)p(.x)itx; о2у = 1[/(x)-w1,] p(x)dx.
-00 -00
Подобные преобразования бывают довольно сложными, и поэтому иногда ограничиваются вычислением математического ожидания и дисперсии функции, используя для этого соответствующие формулы для косвенных измерений (см. гл. 6).
Часто возникает необходимость получения распределения плотности вероятности суммы погрешностей измерения двух и более независимых ФВ. Результирующая плотность вероятности двух
36
случайных погрешностей может быть определена с помощью интеграла свертки
M(5IW8-5iK = Jp1(S-S2)P2(O2)^2, (2.21)
—OO —00
где O = S1-Ho2, P1(S1), /?2(82) — функции плотности вероятности распределения погрешностей S1 и 82. Заметим, что всегда для независимых случайных величин математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, дисперсия суммы равна сумме дисперсий.
Большие возможности в получении ряда характеристик распределения случайных величин имеет аппарат характеристических функций.
Характеристической функцией вх(и) случайной величины х называется математическое ожидание величины ъ]их и для непрерывной функции распределения плотности р(х) определяется как
е»= ]e*"p(x)dx. (2.22)
-00
Это преобразование при изменении знака у показателя экспоненты совпадает с определением спектральной функции (прямое преобразование Фурье), что допускает использование таблиц Фурье или Лапласа с учетом пределов интегрирования.
Зная характеристическую функцию, плотность вероятности можно определить по формуле
p(x) = j-]ex(u)e-^du. (2.23)
-00
Одним из важных свойств характеристической функции является то, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых. Таким образом, при получении суммарной плотности вероятности, например р(8), операцию свертки функций плотности вероятности P1(S1) и /?2(52), т.е. интегрирования в соответствии с формулой (2.21), можно заменить умножением характеристических функций соответствующих распределений
e5(w) = e51(W) 952(w). (2.24)
Характеристическая функция нормального распределения плотности вероятности погрешности измерения будет равна
00 1 ( 82 ^ (
05(и)= J -=ехр--J exp(j8w)t/8 = ехр
^у/2п { 2а J {
2 2\
(2.25)
37
В случае наложения п результатов измерения со случайными погрешностями, распределенными по нормальному закону, результирующая характеристическая функция будет равна произведению Q8(u) = Q8l(u) 0s2(w) 96з(и) ... 66л(и), а результирующая нормальная плотность вероятности будет иметь дисперсию, равную сумме дисперсий наложенных процессов а2 = а2 +о\ + а2 + ... + а2.
Для определения моментов (начального или центрального) случайной величины X необходимо вычислить г-ю производную от характеристической функции по параметру и и положить и = 0:
1 drQ{]u)
т\х\ =---—-
rV J f dur
(2.26)
w=0
Формула (2.26) позволяет вычислить математическое ожидание, дисперсию и другие моменты, не зная аналитической зависимости р (х) или F(x).
Пример 2.1. Для равномерного распределения результатов измерения, заключенных между значениями а и Ь, определить математическое ожидание и дисперсию (а > 0, b > 0, Ъ > а).
