Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
Пример 2.10. Известно, что результаты измерений ФВ х распределены равномерно в интервале от X1 до X2, т.е. р(х)= 1/(X2-X1). Найти функцию распределения функции плотности вероятности величины у, которая функционально связана с величиной х линейной зависимостью y=f(x) = ах л- Ь. Найти также математическое ожидание и дисперсию величины у.
Решение. В соответствии с (2.19) найдем обратную функцию и ее производную
x = g{y) = 2^-\ s\y) = ^-
Получим искомую функцию распределения вероятности величины у
( ч і (у-ьЛ її к д>о>
\а\ \ а ) 11 {-а, а < 0.
Определим математическое ожидание и дисперсию величины у по формулам (2.20) при а>0, сначала воспользовавшись найденной функцией у (у):
У2
Wy = JMy)Jy= Jy-—— ау=
У
-со
I a X7-Xx а(х,-X1) 2
у
2¦VW 0{X2 + X1)
al = l(y~my) v(y)dy= \y\{y)-ml = І У2—,-zdy-m2y =
-«о Уі у, а\х2 Х\)
46
1
0{X2-X1) 3
2 -\ax2+b JaX1+6
a(x2+Xl)
+ b
2 2( \2
a [xx + X2J = 12
Второй путь вычисления математического ожидания и дисперсии (см. (2.20)) без вычисления функции распределения ці (у) менее трудоемок:
оо j х2 j
ту = J f(x)P(x)^x =-\(ах + b)dx =
Х2 Х\ Х|
X2 X1
а— + ох 2
а (х2 + X1)
°5 = J[A*)" "1J />(*)** = J[/W] p{x)dx-m2y = J(ax + Z>)2 х
1 а 2 1 -OX - /и.. =-
X2 X1
Xі
а— + Ьх 3
„2
fl2(*2 ~*l)
12
q(x2-x1)
Заметим, что этот пример приведен для иллюстрации применения формул (2.19) и (2.20). Для вычисления математического ожидания и дисперсии при линейной функциональной зависимости можно также воспользоваться основными правилами для их вычисления, получив результаты более простым способом [7]:
т = М[у] = М[ах + Ь] = Щах] + ЩЬ] = аЩх] + b = /2^Х| + Ъ\
о2у = 0[у] = Щу-тх]2 = M
(ах + Ь) -
= м[а2х2] - M[Q2X(X1 + X2)] + M
( хх + х2 ^
(х, + X2)
п2
= а2{
M[X2Y(X1 + х2)Л/[х] +
= а
X2 + X1X2 + X12 (X1 + х2)2 (х, + X2)2
= а
(*. - хг) 12
47
При вычислении учтено, что
х2
М[х2] = D[x] = jx2p(x)dx =
xl
М[х] = тх = 0,5(X1 + х2) + b.
X2 Xj 3
х2
3(X2-X1)'
Пример 2.11. Погрешность измерения амплитуды сигнала распределена по нормальному закону с плотностью вероятности
*2
ехр
2а2
, - оо < 8 < оо.
Этот сигнал подвергается преобразованию в квадратичном детекторе у = д2. Определить распределение случайной погрешности после квадратичного детектора.
Решение. В соответствии с (2.19) искомая плотность вероятности будет иметь вид
р(у) = р(*)
db
dy
1
2^2
пу
г ехр
2а1
Таким образом, распределение случайной погрешности на выходе детектора равно
Р(У) =
1
ехр
1 т?
р(у) = о,
, У>0, у<0,
где ст,
2GyJy.
Пример 2.12. Результаты измерения ФВ х равномерно распределены в диапазоне от -а до а и связаны с другой ФВ у соотношением у = а + Ьх, где Ъ > 0. Найти распределение плотности вероятности ФВ случайной величины у.
Решение. Плотность вероятности результатов измерения X имеет вид
-^-, - а < X < а, 2а
О, X < -а, X > а.
Используя результаты, полученные в примере 2.10, и соотношение (2.19), получаем
48
і
lab О,
, a-ba<y<a + ba9 y<a-ba,y>a + ba.
Пример 2.13. Случайная погрешность измерения имеет нормальное распределение
,(5) =
1
ехр
х2 Л
2с2
Найти распределение погрешности измерения ФВ, функционально связанной с погрешностью линейной зависимостью г) = а + Ь89 Ь>0.
Решение. В соответствии с (2.19) определим обратную функцию 8 = (ц-а)/Ь и производную dS/dx) = l/b, а затем искомую функцию плотности вероятности
ч2^
Ч>(л) = />(8)
db
1
bojbz
ехр
(л-«Г
2ozb
2д2
где математическое ожидание тц= а(тъ= 0), а дисперсия a2 = 62cr2.
Пример 2.14. Результаты измерения имеют нормальное распределение с математическим ожиданием тх и СКО, равным а. Найти распределение плотности вероятности ФВ, связанной с измеренной соотношением у = a + bx9 Ь>0.
Решение. Используя результаты примеров 2.10 и 2.13, получаем
v2^
1
Ьъ^2ж
ехр
2а
1
ехр
[у-(а + Ьтх)]
где математическое ожидание случайной величины у равно ту = = o + 6/w , а среднеквадратическое отклонение a = 6a.
Пример 2.15. Измерения длины изделия короткой линейкой производятся в два этапа. При этом погрешность измерения представляет собой сумму двух погрешностей, имеющих равномерное распределение плотности вероятности в диапазоне ±а. Определить распределение суммарной погрешности измерения длины и диапазон ее изменения.
Решение. Плотность вероятности суммарного распределения погрешности вычисляют, используя интеграл свертки (2.21):
49
где/>,(8,) =
У(л)= М5,)/>2(л-8і)Лі, Л = 5,+5
-со
'1/2а,
2>
о,
> а.
Области интегрирования показаны на рис. 2.9, а. По оси S1 области интегрирования соответствуют ±а, так как только в этой области функция /J1(S1) не равна нулю. Область, в которой функция /?2(82) не равна нулю, расположена между граничными прямыми в координатах S1 и tj: г| - a = S1 и г| + а = S1. Проведя интегрирование, получим
<* і і іа і
-(2а-л), 2-(2а +л).
ц-а і 4а2 </5, а ц-а 1 4а'
ц+а j j -а 1 4а2 o?5j ц+а -а 1 4а
Ч»(П)
-2а
Рис. 2.9. Области интегрирования при наложении двух одинаковых распределений (а) и результирующее распределение (б) плотности вероятности ц/(г|)
