Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
Наибольшее распространение получили как более наглядные дифференциальные функции распределения результатов измерений р(х) и погрешностей р (5), являющиеся производными от интегральных функций:
30
1,0
0,5
а б
Рис. 2. L Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции распределения результатов измерения
Обычно максимум дифференциальной функции распределения (или плотности распределения) совпадает (при отсутствии систематической погрешности) с истинным значением ФВ, поэтому дифференциальная функция распределения является более наглядной (рис. 2.1, б и рис. 2.2, б). Поскольку функция P (8) безразмерна, то размерность р (8) = [1/8], где [8] — размерность измеряемой величины.
Дифференциальные функции позволяют определить вероятность попадания погрешности или результата измерения в заданный интервал:
31
P(S1 < 8 < S2) = jp(8)d& =P(-oo < 8 < S2) -
»I
-P(-oo < 8 < 8,) = jp(d)d5- jp(b)d5;
-co —oo
P(X1 < § < X2) = J p(x)dx =P(-oo <x<x2) xl
X2 X1
-P(-oo < X < jc1) = ]p(x)dx- jp(x)dx.
—oo —oo
Очевидны также следующие равенства:
OO
Jp(x)dx = P(-oo < X < oo) = 1;
—OO OO
J/?(5)rf5 = P(-oo<8< oo) = l.
(2.2)
(2.3)
Обычно результаты измерений характеризуют функционалами от функций распределения и значениями погрешности в некотором доверительном интервале. Наиболее широко для оценки результатов измерения используют первые и вторые начальные и центральные моменты.
Начальным моментом r-го порядка функции распределения называется интеграл вида
ссг = ]xrp(x)dx = M[xr],
представляющий собой математическое ожидание хг. Нулевой начальный момент равен единице (по определению р (jc)):
00
аоМ= Jp(X)Jx = 1-
-со
Первый начальный момент определяет центр тяжести под кривой р (х) и называется математическим ожиданием:
OO
cc1[x] = jxp(x)dx = тх, (2.4)
—OO
второй начальный момент
OO
еф]= jx2p(x)dx (2.5)
-00
характеризует рассеяние результатов измерения.
32
Центральным моментом г-го порядка функции распределения называется интеграл вида
00 P
*Ф] = 1(х-тх)''P{x)dx = M [х-mj
-оо
представляющий собой математическое ожидание величины (х - тх)г. Нулевой центральный момент |i0[x] = l, а первый центральный момент IiJx] = 0. Второй центральный момент
\i2[x] = ](x-mx)2p(x)dx = M [x-mx)2ll = ]b2p(b)db = D[x] (2.6)
-оо -оо
совпадает со вторым начальным моментом при тх = О, имеет специальное название — дисперсия, играет большую роль в теории погрешностей.
Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, что не всегда удобно на практике. Чаще используют среднеквад-ратическое отклонение (CKO) результатов измерения
°х=V^w=V^w=ав=а- (2-7>
Математическое ожидание и дисперсия — наиболее часто используемые моменты распределения результатов измерения, поскольку позволяют оценить значение измеряемой величины и степень рассеивания результатов измерения около математического ожидания.
Примечание. В соответствии с п. 9.14 РМГ 29-99 допускается при обработке результатов измерений для характеристики случайной погрешности вместо родового термина среднеквадратической погрешности (СКП) использовать термин «среднеквадратическое отклонение».
Для более детальной характеристики распределений используют также моменты более высокого порядка. Так, центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения, а четвертого порядка — плосковершинность распределения [3—5].
Существует много функций распределения вероятности случайных величин [8], некоторые из которых приведены в табл. П1. Наиболее распространенными в теории погрешностей являются нормальное и равномерное распределения. Приведем характеристики этих распределений:
Симметричное равномерное распределение постоянно в диапазоне от -а до а и равно нулю при всех других изменениях аргумента (рис. 2.3, а)\
О, - со < 8 < -а, р(Ъ) = < 1/2а, - а < 8 < а, (2S)
О, а < 8 < со.
2 Основы метрологии 33
р*
1/2<х
->
1,0
-1->
-а 0 а 5 -а 0 а 5
а б
Рис. 2.3. Симметричное равномерное распределение погрешности измерения
Это распределение погрешности имеет место, например, из-за зазоров в механизмах, обусловленных допусками, из-за дискретности уровней квантования в аналого-цифровых преобразователях, из-за дискретности шкал при снятии показаний со стрелочного прибора и т.д. Интегральная функция распределения имеет вид линейной функции (рис. 2.3, 6)
[ 0, - оо < 8 < - а,
о
P(O) = Jp(^ = |(8 + а)/2а, - а ^ 8 ^ а,
[ 0, а < 8 < со.
Нормальное распределение встречается довольно часто, поскольку к нему, согласно центральной предельной теореме теории вероятности, приводит большое количество одновременно малых воздействий, пусть даже имеющих произвольные распределения погрешности. Дифференциальные функции распределения результатов измерений и случайной погрешности имеют вид (рис. 2.4)
(2^9)
Pi*) =
P (8) =
1
ехр
(Х~тх)
2о1
ехр
2ai
(2.10)
(2.11)
тх, то по-
Если переместить начало координат р(х) в точку х-лучим функцию распределения погрешности /?(8) и ах = аь = о. Как видно из (2.10) и (2.11), нормальная функция распределения полностью характеризуется дисперсией, которая показывает рас-сеиваемость результатов измерений, обусловленных случайной погрешностью. Вероятность попадания результатов измерения в некоторый заданный интервал (x1, X2] в соответствии с (2.2):
