Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Поскольку по определению (см. формулу (2.3))
QO
Jp(x)dx = 1, то для равномерного распределения можно запи-
-00
ь
сать J p0dx = 1. Тогда
p0=l/(b-a). (1)
Математическое ожидание в соответствии с формулой (2.4) будет равно
1 Xі L
СО 1
М[х] = ^xp(x)dx = Jx-—-dx
b - a b - а 2
Для расчета дисперсии результатов преобразуем исходную формулу (2.6), определяющую дисперсию результатов измерения:
со 2 00 00
Z)[x]= j(x-mx) p(x)dx= jx2p(x)dx - 2 jxmxp(x)dx +
—00 —00 —00
со CO 2 00
+ ^m2xp(x)dx = jx2p(x)dx - 2mxmx + (mx) jp(x)dx =
-00 -00 -00
OO
= jx2p(x)dx - aw2.
-co
38
Таким образом,
D[x]=jx2p(x)dx-m2x. (3)
Определим первое слагаемое в формуле (3)
ь
jx2p(x)dx = p0j x2dx = р0?-
3
а а
а затем дисперсию и CKO
= Щь3 _fl3j = Ь2 +ab + а2
г, _Ьг+аЬ + а2 [а + Ь)2 _{b-af
LJ~ 3 4 " 12 * К)
*[*} = Ш' (5)
Пример 2.2. Погрешность измерения 8 имеет равномерное распределение от -с до с и симметрична относительно начала координат. Определить математическое ожидание погрешности, дисперсию и CKO погрешности от среднего значения. Подсчитать CKO погрешности при с = 0,1 мм.
Решение. Используя формулы (1) и (3) из примера 2.1, при а = -с и Ъ = с получаем
P0 = 1/2с, M [8] = О, D [8] = с2/3, а [8] = с Д/З = 0,058 мм.
Пример 2.3. Погрешность 8 измерения напряжения распределена по симметричному закону Симпсона (треугольный закон) в интервале от а = -1 мВ до Ь = 3 мВ (см. табл. П1).
Определить систематическую погрешность, CKO результатов измерения, вероятность того, что измеряемое напряжение превысит истинное значение более чем на 2 мВ, а также вероятность того, что исправленный результат измерения не превысит 11 мВ |.
Решение. 1. Запишем распределение плотности вероятности для погрешности. Для этого определим вначале его максимум, используя условие нормировки, в соответствии с которым площадь под кривой распределения должна быть равна единице. Поскольку распределение представляет собой равнобедренный треугольник (симметричное распределение Симпсона) с основанием, равным Ъ- а = 4 мВ, то его высота р0, определенная из формулы для площади треугольника 0,5/?0(6 - а) = 1, будет равна р0 = 0,5 мВ-1 при 8 = 1 мВ.
39
2. Ибпользуя сведения из аналитической геометрии, можно записать для левой стороны треугольника (рис. 2.5):
Pfiij-Pfii) 82 -8I '
Подставляя в (1) p(S{) = 0, S1 = —1, р (S2) = 0,5, 82=1, получаем р (S) = 0,25 (8 + 1). Аналогично можно получить выражение для правой стороны треугольника р (S) = -0,25 (8-3). Аналитическое выражение для рассматриваемого распределения будет иметь вид
rP1(S) = 0,25(8 + 1), — 1 < S < I9 P2(S) = -0,25(8-3), 1<5<3, (2)
/>з(8) = />4(8) = 0> 5<-1,8>3.
PA
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Рис. 2.5. Треугольное распределение (Симпсона) погрешности измерения: смещенное на величину систематической погрешности (сплошная) и симметричное
(штриховая)
3. Используя (2), определяем систематическую погрешность, которая при симметричном распределении соответствует математическому ожиданию погрешности
OO 1 3
A5 = \Sp(S)dS= \Spx(S)dS + \Sp2(S)dS =
-OO -1 1
і з
= J0,255(S н-1)+ J5(-0,25)(5 - 3)d5 = l мВ. (3)
-і і
Заметом, что систематическая погрешность фактически была уже выявлена при определении координаты максимума распределения.
40
4. Для исправленных результатов измерения, т.е. для результатов измерения смещенных на величину систематической погрешности (3), получим следующее распределение плотности вероятности погрешности измерения (рис. 2.5):
/(8)
^(8) = 0,25(8 + 2), -2<5<0, р2(5) = 0,25(5 - 2), 0 < 5 < 2, [P2(S) = P4(S) = O9 |5|>2.
(4)
5. Используя (4), по формуле (2.6) вычислим дисперсию и СКП:
со 0 2
D[S] = JsV(S)^s = Js2^1(S)JS + jS2p2(S)dS =
-2
= 2JS2p{(S)dS = ^ = 0,66 мВ2; а[8] = ^ІЩ = д/2/3 = 0,81 мВ.
6. Определим вероятность того, что погрешность исправленных результатов измерения не превысит по модулю 1 мВ. Поскольку распределение симметрично, то эта вероятность будет равна
Р(\ SI < 1 мВ) = 2jp*2(S)dS = 2 J ](5 - 2)dS = 0,75.
о (Г
7. Определим вероятность того, что неисправленный результат измерения напряжения превысит истинное значение напряжения более чем на 2 мВ:
P = }/>2(8)</8 = |(-~)(8 - 3)^5 = 0,125.
Пример 2.4. Погрешность результатов измерения распределена по нормальному закону с СКО, равным а = 4 мА. Записать усеченный нормальный закон распределения погрешности, если предел допускаемой погрешности составляет Ар = ±12 мВ.
Решение. Аналитическое выражение для усеченного закона найдем из условия нормирования (2.3) площади под кривой нормального распределения:
1
J ехр
2а2
dB = -
г
J ехр
•л \
2а2
<? = l.
41
Переходя к нормализованному представлению функции распределения при t=5/a, dt= db/cs и используя данные табл. ПЗ при tp = Др/а = ±3, получаем
А 3
17 ( t2)
-7=) СХр -—\
dt =
J ехр
( t2) -у Л = у*-0,997 = 1,
откуда А = 1/0,997.
Таким образом, распределение будет иметь вид
р (8) =
1
ехр
z2 \
2а J
0,997а 0 при 151 > 12 мВ.
при |8| < 12 мВ,
