Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
другое количество действия этих сил, и в момент, когда оно находится в М,
количество действия равно
§ Vdv + § V'dv' + J V" dv" ,
как я показал в начале этого рассуждения. Тогда, если обозначить элемент
времени через dt, мгновенное количество действия, которое испытывает тело
в течение этого элемента времени dt, будет равно
rf/tf Vdv + j V dv' + j V" dv" + ...),
а, следовательно, сумма всех мгновенных действий, которым подвергается
тело за конечное время t, будет равна
Sdt($Vdv + $ V'dv' + j V"dv" + ...).
Теперь совершенно естественно, что тело изберет тот путь, при котором
сумма всех мгновенных действий имеет минимум. Вот - новый общий принцип
для свободного движения тел, находящихся под действием любых сил,
истинность которого становится очевидной, как только мы задумаемся над
понятием количества действия, которое я установил.
XXX. Пользуясь этим принципом, мы найдем в действительности те же кривые
для движения тел, находящихся под действием любых сил, к которым нас
приводят обычные принципы механики. В самом деле, этот принцип вовсе не
отличается от того, которым я пользовался для определения этих же кривых
по методу максимумов и минимумов : я там показал совсем как этого требует
принцип Мопертюи, что, если обозначить через Мт = ds
СООБРАЖЕНИЯ ПО ПОВОДУ НЕКОТОРЫХ ОБЩИХ ЗАКОНОВ ПРИРОДЫ
77
элемент кривой, а скорость тела в точке М - через и, то значение
выражения
всегда будет иметь максимум. Я заметил там, что количество действия
SVdv + SV'dv^+lkV"dv"l,
будучи отнято от некоторого постоянного количества, дает квадрат скорости
ии, так что
j Vdv + j V dv' + j К" dv" - С - uu .
Но, согласно нашему новому принципу, выражение
j dt (С - ии),
или
Ct - ^uudt,
будет иметь минимум, или, иначе, в течение того же времени t значение
выражения j uudt, или, на основании равенства ds = и dt, значение
выражения j и ds должно иметь максимум, совершенно так, как я это доказал
в моем "Traite de Maximis et Minimis".
Л. ЭЙЛЕР
СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ОБЩИМИ ПРИНЦИПАМИ ПОКОЯ И ДВИЖЕНИЯ МОПЕРТЮИ [¦]
I. Когда Мопертюи, наш достойнейший Президент, открыл два общих принципа,
один - для состояния покоя и равновесия, а другой для состояния движения,
сначала казалось, что эти два принципа не имеют ничего общего, потому,
что основываются на совершенно различных понятиях. Однако я покажу, что
оба эти принципа опираются на одно и то же основание и находятся в самой
тесной связи, так что если мы соглашаемся с одним, то и не вызывает
сомнения другой, иначе говоря, если один прочно установлен, то из этого
непосредственно следует строгое доказательство другого. Это замечательное
соответствие представляется мне весьма важным, так как оно проливает
яркий свет как на один, так и на другой принцип; и чем больше связаны
между собой эти два принципа, тем больше они соответствуют простоте
Природы.
II. Я начну с общего принципа покоя или равновесия. После того как
полностью сформулирую его, в соответствии с объяснением, которое дал
Знаменитый Автор в Memoires de ГАсабёпие Royale des Sciences de Paris за
1740 г., я с помощью простого рассуждения установлю, что общий принцип
движения является необходимым следствием из этого принципа. Очевидно,
принцип покоя не может встретить никаких возражений, тем более, что после
его Автора я также указал на справедливость этого принципа в
огромномчисле совершенно различных между собою случаев, поэтому уже
одного указанного соответствия будет достаточно для опровержения всех
возражений, которые можно сделать против другого принципа - принципа
движения. И я надеюсь, что изложение этого соответствия будет наиболее
убедительным способом отстоять эти два принципа, а также показать их
новизну: до Мопертюи никто, конечно, не имел о них никакого
представления.
III. Мопертюи сформулировал закон покоя в таких выражениях:
"Пусть имеется система тел, которые тяготеют или притягиваются к
центрам силами, действующими на каждое тело пропорционально п-й степени
их расстояний до центров ; для того чтобы все эти тела оставались в
покое, необходимо, чтобы сумма произведений каждой массы на величину силы
и на (п + 1)-ю степень расстояния до центра силы (что можно назвать
суммой сил покоя) была максимумом или минимумом". Таким образом,
обозначая массу какого-нибудь тела, принадлежащего системе, через М, а
расстояние этого тела до центра через г, к которому оно притягивается с
силой fzn, получим для тела М произведение Mfzn+1; сумма всех подобных
произведений, соответствующих каждому телу системы, будет максимумом или
минимумом, когда тело находится в равновесии.
IV. Чтобы показать справедливость этого закона, Мопертюи рассматривает
два случая; в каждом из них имеется система трех тел, связанных между
собою. В первом из них он считает эти тела прикрепленными к нема-
СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ОБЩИМИ ПРИНЦИПАМИ ПОКОЯ И ДВИЖЕНИЯ МОПЕРТЮИ 79
термальным радиусам, движущимся вокруг фиксированной точки; во втором он
считает их прикрепленными к хордам, соединенным в подвижной точке. И хотя
