Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Минимальное значение этого выражения даст нам фигуру равновесия нити.
Определив в предыдущей статье фигуру равновесия такой нити при помощи
обычных принципов механики, я уже заметил, что эта фигура находится, если
искать кривую, для которой значение этого же выражения
J ds (j V dv + J V'dv' + j V" dv") является наименьшим.
74
Л. ЭЙЛЕР
XXVII. Я не могу обойти молчанием одно по истине прекрасное свойство
фигуры равновесия совершенно гибкой нити, имеющей повсюду одинаковую
плотность, свойство, к которому приводит это решение. Пусть AM (рис. 6) -
совершенно гибкая нить, повсюду одинаковой плотности, и пусть каждая
точка этой нити притягивается к трем центрам С, С', С" силами V, V', V",
которые являются какими-то функциями расстояний СМ = г>, СМ' = г/, СМ" =
v". Обозначим абсциссы следующим образом: СХ = х, С'Х' = -хГ, С"Х" = -х",
апликаты ХМ = у, Х'М = у', Х"М = у"; так как dx = dx' = dx" и dy= dy' =
dy", то элемент Mm кривой будет
ds = frfx2 + dy2 .
Пусть будет теперь
dy = pdx
и
dp = qdx.
Тогда метод максимумов и минимумов дает для кривой равновесия нити AM
следующее уравнение :
V(y_-px) У'(у - рх') V" (у" - рх") =
V ' V' ' V"
где
1 + рр
j'Vdv + j V'tfe' + J у" dv"
(JVdv + SV' dv' + J V" dv") ,
выражает количество действия на точку М. Разделим обе части уравнения на
Так как радиус развертки
МО =
то мы будем иметь уравнение
S V dx + J V' dv' + ? V" dv"
Ь+рр ¦
(i + рр) У1 + рр
МО
V (у__-2_рх)_ V'(y'-
"Yi + рр v' yi -
¦ рх') \TJy_" - рх")
рр if У! + рр
Но
УГ
рх
РР
у dx - xdy
ds
выражает перпендикуляр СТ, опущенный из центра С на касательную МТ ; в
самом деле, опуская из точки X на ту же касательную перпендикуляр ХР и CQ
- на ХР, мы видим сначала, что
ХР
XQ =
у dx
ds
х dy
ds '
СООБРАЖЕНИЯ ПО ПОВОДУ НЕКОТОРЫХ ОБЩИХ ЗАКОНОВ ПРИРОДЫ
75
так что
р'г _ У dx - xdy _ у- рх ds У1 + рр
Если из других центров С', С" опустить подобным же образом перпендикуляры
С'Т' и С"Т" на касательную, то написанное уравнение примет вид
J V dv + S V' dv- + S V" dv" _ V ст V- cr , V" с"т"
' ' rt'f'
MO v v' 1 v"
Умножим это уравнение почленно на МО. Тогда
ст ¦ мо ст ¦ мо v ~ см
выразит линию MR, после того как из точки О на продолжение линии СМ
опущен перпендикуляр OR. Отсюда мы выводим следующее свойство : Если из
центра О соприкасающегося круга в точке М провести перпендикуляры OR,
OR', OR" на продолжения расстояний СМ, СМ, С"М, то количество действия
сил на точку М, т. е.
J Vdv + $ V dv' + J V" dv"
будет равно
V ¦ MR + V' ¦ MR' + V" • MR".
XXVIII. Наш принцип оказывается еще более общим и распространяется
также и на упругие нити, как я это показал в моей предыдущей статье :
дело только в том, чтобы привести эффект упругости к понятию количества
действия. Сохраним все обозначения предыдущего случая, в котором каждая
частица нити AM притягивается к центрам С, С', С" силами V, V', V", и
пусть радиус развертки, от которого зависит сила упругости, равен
(dx^+dy^y МО-¦ г - к Т-у ' ¦
dxdy '
силу упругости обычно полагаютравной(tm), или-^, если нить не имеет повсюду
одну и ту же плотность, так что упругость в одном месте больше или
меньше, чем в другом. Чтобы придать решению большую общность, я
предположу, что в точке М упругость равна Т, где буква Т обозначает
какую-то функцию от г, которая содержит также длину нити в случае, когда
последняя имеет переменную упругость. После этого принципы механики дают
нам для фигуры равновесия упругой нити следующее уравнение :
т-+й*Н?+?¦ +" + ••¦)-
Для того чтобы найти то же самое уравнение методом максимумов и
минимумов, необходимо к количеству действия сил V, V, V" на точку М,
равному
j V dv + j V' dv' + j V" dv" + ... , прибавить количество действия
упругости, которую я выше обозначил через Т. Вводя обозначение - = t ,
так что t пропорционально кривизне, мы легко
76
Л. ЭЙЛЕР
М т
сообразим, что подобно тому, как сила V производит действие j V dv, так
же сила Т дает действие j Т dt. Следовательно, если обозначить массу
элемента нити через Mm = dS, то полная сумма всех действий на часть нити
AS будет равна
j dS (j Vdv + j Y dv' + j V" dv" + ... + j Tdt
и зта сумма будет наименьшей, когда нить находится в равновесии; это
свойство должно иметь место в силу нашего принципа не только, когда
центры сил С, С', С" находятся в одной плоскости с фигурой нити, но также
и в том случае, когда они имеют любое расположение.
XXIX. Но, установив общий принцип, что при всяком состоянии равновесия
сумма всех действий сил для всех частиц тела, находящегося в равновесии,
имеет минимум, я замечу сверх того, что тот же самый принцип имеет место
при всех свободных движениях тел, какие бы силы на них ни действовали.
Пусть тело, после того как оно получило какое-то движение, притягивается
постоянно к нескольким центрам сил С, С', С" и т. д.
(рис. 7) и пусть силы V, V', V" выражаются какими-то функциями расстояний
СМ = v, С'М = v', С"М = v" ; это тело каждое мгновение будет испытывать
