Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
притягивается к V, и пусть подобная же функция от у равна Y и выражает
ускоряющую силу, с которой тело N притягивается к V.
Следовательно, если обозначим через М и N массы обоих тел, то движущие
силы, которыми тела притягиваются к точке V, будут равны MX и NY ; и,
следовательно, усилия на теле по данному мной определению будут равны J
MX dx и J NY dy или же М j X dx и N J Y dy, в силу постоянства масс.
Следовательно, если сумму усилий положим равной Ф, то получим 0=M$Xdx +
N$Ydy [(r)].
6*
84
Л. ЭЙЛЕР
XXII. Пусть теперь скорость тела в точке М равна и, а скорость тела в
точке N равна v ; с этими скоростями за элемент времени dt тела будут
пробегать пути Мт и Nn, и мы получим Мт = и dt, Nn - v dt. Из точек т и п
проведем перпендикуляры тх и пу к линиям VM и VN, чтобы иметь Мх = - dx и
Ny = - dy ; тогда центростремительная сила для тела •М
образует касательную силу, равную • МХ = -М^х , а для тела
N - касательную силу, равную • NY = -. Но оба тела связаны между собою
стержнем MN; этот стержень находится в состоянии, характеризуемом
некоторой степенью натяжения, которое пусть равно Т; благодаря натяжению
стержень будет притягивать оба тела друг к другу и поддерживать их на
заданном расстоянии; наконец, пусть mn = MN. Следовательно, проводя из М
на тп и из N на MN перпендикуляры Мр и nq, получим тр = Nq; и сила Т
будет действовать
на тело М с касательной силой, равной - ¦ Т = потому что
она стремится замедлить движение, а на тело N - с касательной силой,
павной ¦ Т = TNq - Tmp
равной Nn vdJ .
XXIII. В целом, следовательно, тело М будет подвержено действию
касательной силы --Z которая после умножения на элемент
времени dt должна быть равна 2М du, откуда получаем :
2Ми du = - MX dx - Tmp .
(tm) " -NYdyA-Tmp
Точно так же другое тело увлекается касательной силои • Jd( - - ;
если умножим эту силу на dt, то произведение должно быть равно 2 N dv,
что приводит к следующему уравнению :
2 N vdv = - NY dy + Tmp.
Сложим теперь эти два равенства, чтобы получить
2Ми du + 2Nv dv = - MX dx - NY dy;
интеграл этого выражения будет :
Мии + Nvv = const - М J X dx - N ]"Г dy
или в силу того, что Ф = М J X dx + JV J Y dy,
Мии + Nvv = const - Ф.
XXIV. Очевидно, Мии и Nvv выражают здесь живые силы каждого из двух тел,
так что сумма живых сил равна const - Ф или просто равна Ф, если включить
в нее постоянную ; и следовательно, сумма живых сил и сумма усилий в
каждый момент времени выражаются одной и той же формулой. Следовательно,
если во время движения формула J Ф dt является максимумом или минимумом,
как требует принцип равновесия Мопертюи, то это абсолютно то же самое,
что J Мии dt -\- J Nvv dt или J Ми • Мт + + J Nv ¦ Nn является максимумом
или минимумом. Но Ми ¦ Мт, по Мопертюи, обозначает количество действия
тела М и Nv- Nn-количество действия тела N за время dt. Следовательно,
оба принципа Мопертюи вполне согласуются также и в более широком смысле.
XXV. Таково, следовательно, данное нами доказательство тождества обоих
принципов Мопертюи ; из этого доказательства видно, что один из принципов
является необходимым следствием другого и что, доказав спра-
СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ОБЩИМИ ПРИНЦИПАМИ ПОКОЯ И ДВИЖЕНИЯ МОПЕРТЮИ 85
ведливость одного, поставим другой также вне всякого сомнения. Легко
также понять, что так как я вывел принцип движения из принципа покоя, то
последний должен быть также следствием первого, хотя доказательство в
этом случае является более трудным. Ибо, если хотят перейти от движения к
покою, то должны предположить движение бесконечно малым, а это приводит к
большим спорам относительно бесконечно малых скоростей и пространств,
пробегаемых в течение бесконечно малого времени, которые будут выражаться
дифференциалами второго порядка. Но доказав тождественность этих
принципов, следует только воспользоваться понятием усилия в случае
равновесия, и убедиться, что оно приводит к тому же, как если бы мы
действительно вошли в детали бесконечно малого движения.
XXVI. Все сводится, следовательно, к доказательству справедливости
принципа покоя, после которого принцип движения не должен более вызывать
сомнений. Но ведь кроме того, что сам Мопертюи дал ему прочное
доказательство, он подтвердил его истинность также применением этого
принципа ко многим случаям, для которых он показал, что равновесие всегда
вполне согласуется с его принципом. И я нашел формулы, являющиеся
максимумом или минимумом для форм, которые принимают всякого рода тела,
как гнущиеся, так и упругие, и даже жидкие, подверженные действию каких-
либо сил ; эти формулы всегда одинаково содержат то, что я только что
выразил термином усилие [d'effort]. Все это вместе, следовательно,
заменит полное доказательство этого принципа, оставив как можно меньше
сомнения в его истинности. Но в тех же самых доказательствах содержится
также доказательство другого принципа - принципа движения, тесно
связанного с принципом равновесия.
XXVII. Более того, этот принцип равновесия, будучи вполне установленным,
