Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
70
Л. ЭЙЛЕР
XX. Установив, таким образом, истинное понятие количества действия каких-
либо сил на данную точку, находится ли она в покое или в движении, я
покажу более ясно обширное применение этого понятия, рассматривая
несколько неподвижных центров С, С', С" и т. д., которые одновременно
притягивают силами V, V, V" и т.д., пропорциональными каким-то функциям
расстояний v, v', v" и т. д. таким образом, что количество действия этих
сил на точку Z, расстояние которой от этих центров суть v, v', v" и т.
д., равно
J V dv + J V dv' + J V" dv" + ...
Сначала мы найдем между этими центрами сил место, где надо поместить
тело, рассматриваемое как точка, чтобы оно оставалось в покое, или в
равновесии ; я только что показал, что искомая точка Z будет там, где
значение выражения
j Vdv + S V'dv' + J V"dv"
или количества действия является наименьшим. С помощью этого свойства мы
легко найдем место точки Z, перемещая эту точку на бесконечно малое
расстояние Zz и полагая дифференциал
V dv -f- V' dv' -f- V" dv"
равным нулю так, как я это показал в случае, когда на точку Z действовали
три силы. В этом состоит сложение и разложение сил, которое является
основой всей статики ; отсюда видно, что один принцип количества действия
составляет фундамент этой науки.
XXI. Затем, рассматривая жидкую массу, все частицы которой притягиваются
к центрам сил С, С', С" и т. д., найдем еще форму, которую примет эта
жидкая масса, пользуясь только количеством действия. Для этого нужно, как
я показал, чтобы количество действия сил было одним и тел; же повсюду, в
каждой точке поверхности жидкой массы ; отсюда, вид этой поверхности
будет выражаться таким уравнением :
J V dv + j" V' dv' + j" V" dv" + ... = const.
Иначе говоря, эта жидкая масса может быть в покое только в такол; месте и
при такой форме, для которых полное количество действия будет наименьшим
возможным, т. е. чтобы жидкая масса была в равновесии, необходимо, чтобы
значение выражения
J Vdv + J V dv' + J V" dv" + ...
было минимальным. На этом принципе основывается вся гидростатика, или
теория равновесия жидкостей. В самом деле, если мы будем рассматривать
только одну центральную силу, чтобы иметь случай естественного
притяжения, мы будем иметь для состояния равновесия жидкой массы
уравнение [ у dv = С, а так как V есть функция v, то расстояние v будет
постоянным; поэтому все точки поверхности жидкости должны быть одинаково
удалены от центра земли, т. е. поверхность жидкости будет горизонтальной.
XXII. Не только количество действия сил на одну-единственную точку Z
должно быть наименьшим, но легко убедиться в том, что и в жидкой массе,
находящейся в состоянии равновесия, полная сумма всех количеств действия
сил на все элементы жидкой массы должна быть минимумол1. Поэтому, если
обозначить через dS какую-либо частицу жидкой массы и если количество
действия сил V, V', V" и т. д. на эту частицу будет равно
С Vdv + j V' dv' + j V'dv" + ..., поскольку она рассматривается как
точка, ясно, что количество действия
СООБРАЖЕНИЯ ПО ПОВОДУ НЕКОТОРЫХ ОБЩИХ ЗАКОНОВ ПРИРОДЫ
71
на элемент dS будет равно
dS (J Vdv + j V'dv' + J V" dv" + ...),
где dS уже рассматривается как собрание многих точек, для каждой из
которых количество действия сил равно
J Vdv + J V' dv' + J V" dv" + ... ,
так что это количество должно быть умножено на число точек элемента dS,
т. е. на самый элемент dS, чтобы иметь количество действия сил на этот
элемент dS. Следовательно, количество действия сил на всю массу жидкости
будет равно
JdS (j Vdv + j V'dv' + J V" dv" + ...).
Значение именно этого интегрального выражения и должно быть наименьшим,
потому что оно содержит полную сумму всех количеств действия сил на все
частицы жидкой массы. Отсюда легко получить следующее общее правило для
нахождения состояния равновесия какого-либо тела, находящегося под
действием каких-либо сил : Следует умножить каждый элемент тела на
количество действия сил, которые на него действуют; интеграл этого
произведения, который будет полным количеством действия на все тело,
должен быть минимумом. Всякий, кто поймет значение понятия количества
действия сил на одну точку, которое я только что обосновал при помощи
весьма веских доводов, согласится без труда с тем, что во всех случаях
равновесия сумма всех количеств действия должна быть наименьшей.
XXIII. Если все тело, состояние равновесия которого мы ищем,
бесконечно мало, так что dS выражает все это тело, то полное количество
действия будет равно
dS($Vdv+$ V' dv' + j V" dv" + ...);
это количество будет минимумом, если
J Vdv + f V' dv' + J V" dv" + ...
будет иметь наименьшее значение, так как dSпостоянно; это - случай,
который я разобрал уже выше. Но если данное тело есть жидкая масса,
элементом которой является dS, уже не так ясно, что фигура, для которой
выражение
J dS (f Е dv + J V' dv' + J V" dv" + ...)
имеет минимум, будет той же самой, которую я нашел раньше и которая
