Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
равновесия является наибольшей или наименьшей. Следовательно, если тело М
увлекается силами V, V', V" и т. д., направленными к фиксированным точкам
У, У', У" и т. д., и если расстояния МУ = v, МУ' = г/, МУ" = v" и т. д.,
то усилие этих сил на тело М будет равно j У dv -f j V' dv' -f j V" dv" +
и т. д. или, если буквы У, У, У" и т. д. выражают ускоряющие силы, то
усилие будет равно M(J V dv + J V' dv' + j V" dv" + и т. д.).
XI. Следовательно, в силу общего принципа- покоя Мопертюи ни однотело,
как твердое, так и жидкое, не будет находиться в равновесии, если только
сумма всех усилий, действующих на каждый элемент тела, не будет
наименьшей или наибольшей, насколько это возможно. Однако ниже я покажу,
что наибольшая величина имеет место только в исключительно особых
случаях, когда равновесие не восстанавливается после его нарушения ; во
всех других случаях, в которых равновесие постоянно, имеет место
наименьшая величина суммы. Я замечу здесь мимоходом, что есть случаи,
когда сумма усилий становится равной нулю, но эти случаи не только
М
Рис. 1.
СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ОБЩИМИ ПРИНЦИПАМИ ПОКОЯ И ДВИЖЕНИЯ МОПЕРТУЮИ 81
не противоречат принципу, но скорее лучше подтверждают его, ибо Природа,
имея в виду, так сказать, сделать сумму усилий наименьшей, главной своей
целью ставит, без сомнения, заставить ее исчезнуть полностью ; когда, и
только когда это невозможно, она должна довольствоваться тем, чтобы
сделать ее по возможности малой. Таков в нескольких словах принцип
равновесия или покоя Мопертюи.
XII. Установив этот принцип для покоя или равновесия, не естественно ли
было бы сказать, что тот же принцип имеет место также и при движении тел,
увлекаемых подобными же силами, ибо, если замыслом Природы является по
возможности наибольшая экономия на сумме усилий, то необходимо, чтобы она
распространялась также и на движение, если только принять, что усилия
существуют не только одно мгновение, но и все мгновения, в течение
которых продолжается движение. Так, если усилие или сумма усилий для
какого-то момента движения равна Ф и если положить элемент времени равным
dt, то необходимо, чтобы интегральное выражение § Фdt было минимумом.
Таким образом, если для случая равновесия величина Ф должна быть
минимумом, то те же законы Природы, как кажется, требуют, чтобы для
движения формула J ФИ была наименьшей.
XIII. И как раз в в этой формуле заключается другой принцип Мопертюи,
рассматривающий движение, хотя с первого взгляда он может показаться
несколько иным. Чтобы показать это замечательное соответствие, я замечу
только, что когда тело движется, находясь под действием упомянутых сил V,
V', V", и т. д., усилие Ф, которому подчиняется тело, выражает в то же
самое время живую силу тела или произведение массы тела М на квадрат его
скорости. Следовательно, если положить его скорость равной и, то
выражение, которое должно быть минимумом, будет §Muudt; но udt выражает
элемент пространства, пробегаемого телом за время dt; и, следовательно,
полагая это пространство равным ds, мы получим §Muds для приравнивания
минимуму. То есть нужно в каждый момент умножить массу тела М на скорость
и, кроме того, на пробегаемое пространство ds; сумма всех этих
произведений должна быть минимумом.
XIV. Я пришел, таким образом, к тем же словам, которыми пользуется
Мопертюи для определения своей идеи действия, когда он говорит, что
действие есть произведение массы на скорость и пробегаемое пространство.
Так, в случае предыдущего параграфа выражение Ми ds есть количество
действия в какой-либо момент, если точно воспользоваться манерой
выражения Мопертюи. Согласно тем же самым представлениям движение тел
должно быть таким, чтобы сумма всех элементарных действий или j Muds была
минимумом. В IVтоме наших Memoires я показал также, что этот принцип
приводит как раз к тем кривым, которые находят по обыкновенным принципам
Механики. Очевидно, что этот принцип движения Мопертюи является
необходимым следствием его общего принципа покоя или равновесия.
XV. Так как в движении выражение Ф dt, данное выше, является как раз тем,
что Мопертюи называет действием тела в течение бесконечно малого времени
dt, то можно с таким же правом сказать, что Ф обозначает мгновенное
действие, если не принимать во внимание время ; в этом случае Ф
соответствует тому, что называют живой силой. Следовательно, и в случае
покоя или равновесия, когда совсем нет движения, то же самое выражение Ф
обозначает полное усилие и поэтому ничто не мешает дать ему то же
название действия. В этом случае действие и усилие будут выражать одно и
то же ; и это наименование также вполне обосновано. Таким образом,
согласно представлению Мопертюи можно сказать, что как в движении, так и
в покое количество действия всегда является наименьшим, насколько
возможно.
82
Л. ЭЙЛЕР
XVI. Но нужно доказать еще то, что я сформулировал в § VIII ; это
доказательство лучше пояснит нам соответствие между тем, что я называю
