Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
суть какие-то функции этих расстояний v, v', v", то состояние равновесия
точки Z все-таки определится тем же дифференциальным уравнением
Vdv + V'dv' + V"dv",
которое было найдено при решении задачи, и теперь нет никакого сомнения,
что его интеграл
j Vdv+ J V'dV + J Vdv"
будет иметь также минимальное значение. Но, если это выражение будет
минимумом в случае, когда силы действуют только на одну единственную
точку Z, то оно подобным же образом будет минимумом и в случае какой-либо
жидкой массы, которая находится под действием тех же сил. Следовательно,
мы имеем самые большие основания утверждать, что количество действия сил
V, V', V" на некоторую точку Z должно иметь выражение
J Vdv|+ J V'dv' + J V"dv",
и далее, что это выражение имеет место независимо от того, будем ли мы
рассматривать точку как единственную, или же как принадлежащую какой-либо
жидкой массе. Вот та несокрушимая опора, на которой основывается
вышеуказанное правило определения количества действия каких-либо сил на
данную точку [21].
XVIII. Последующие рассуждения еще лучше разъяснят понятие количества
действия сил, и мы поймем более ясно, почему количество действия сил V,
V', V" на точку Z должно выражаться как раз формулой
J Vdv + j" V'dv'[+ J V"dv".
В предыдущем исследовании, где я вместо сил V, V', V" брал равные между
собой упругие нити, действие каждой силы, приложенной к точке Z,
представлялось суммой длин всех упругих нитей, которые заменяют силы; в
самом деле, мы видели, что если обозначить длину AG всех упругих нитей,
заменяющих силу V, через х, и если V означает число этих нитей (силу
каждой мы полагаем равной единице), то общая сумма всех этих нитей равна
Vx; так получается количество Vx, которое представляет действие силы V на
точку Z, ибо Vx выражает действительное состояние сокращения упругих
нитей, от которого зависит действие силы V. Тогда, полагая все расстояние
от точки Z до неподвижных стенок равным EF = v, а постоянное расстояние
ZC равным а, мы будем иметь х - v - а, и действие силы V будет равно V(v
- а) в предположении, что сила V постоянна, или что ее величина вовсе не
зависит от расстояния v. В случае же, когда сила V зависит от расстояния
v или, что сводится к тому же, от длины х упругих нитей, число V нитей
было бы переменным и их общая длина более не была бы Vx, или V (х-а), но,
как легко заметить, для получения этой общей длины нужно было бы
СООБРАЖЕНИЯ по поводу некоторых ОБЩИХ ЗАКОНОВ природы
69
взять интеграл от V dx или V dv, так как V является переменной. Теперь
уже J V dv будет выражать полную длину всех упругих нитей, замещающих
силу V, а следовательно, очевидно, что то же выражение \ V dv представит
также и количество действия силы V на точку Z ; понятно также, что
количество действия многих сил V, V', V" будет равно
J Vdv+S V'dv' + j V"dv".
XIX. Более того, выражение
J Vdv V j V'dv' -f f Vdv"
не только имеет столь большое применение в состоянии покоя, но от него
также принципиально зависит определение движения. В самом деле,
предположим, что тело, находящееся под действием сил V, V', V",
направленных к центрам С, С', С", прошло уже дугу AZ некоторой кривой,
начав свое движение из состояния покоя в точке А ; пусть и - скорость,
которую тело приобретет в точке Z, а и + du - та скорость, которую оно
будет иметь в точке z, пройдя элементарную дугу Zz = ds (рис. 4).
Обозначим через CZ = v, C'Z - v', C"Z = v" расстояния тела, находящегося
в Z, от центров С, С' и С", а через V, V', V" - силы, которыми тело
притягивается к этим центрам. Опускаем перпендикуляры zt, zt', zt" из
точки z на прямые CZ, C'Z, C"Z; тогда будем иметь : Zt = - dv, Zf = -
dv', Zt" = - dv", откуда
V dv V' dv' V" dv"
получаем касательные силы -------, - -^-,------------ds- и,
следовательно,
движение тела, при котором оно проходит элемент Zz = ds, будет ускоряться
силой
Vdv+V' dv' + V dv"
------------------------ ---; если умножить ее на
расстояние ds, то получится произведение скорости и на ее дифференциал,
таким образом, мы получим уравнение
и du = - Vdv - V'dv' - V" dv",
интеграл которого будет
~ ии = С - j Vdv - J V'dv' - j Vdv",
где постоянная С должна быть выбрана из того условия, чтобы в точке А
скорость обращалась Рис. 4.
в нуль. Итак, половина квадрата скорости в
точке Z, или, что то же, высота, соответствующая этой скорости, будет
представляться выражением
С - j Vdv - f V' dv' - j V" dv",
состоящим из двух частей, из которых первая часть С зависит исключительно
от точки А, из которой началось движение ; вторая же часть
- j Vdv - j V'dv' - j V"dv"
зависит исключительно от точки Z, в которую тело пришло. Следовательно,
выражение
J + J V' dv' + J V" dv",
которое в состоянии покоя показывает количество действия сил на точку Z,
выражает также и в состоянии движения ту часть квадрата скорости, которая
зависит от точки Z, так что это выражение имеет первостепенную важность
как в состоянии покоя, так и в состоянии движения.
