Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
усилием и идеей действия Мопертюи. Итак, пусть тело М притягивается к
центрам сил V, V', V" и т. д. силами V, V, V" и т. д.; положим расстояния
VM = v, V'M - v', V"M = v" и т. д, а самые силы пусть будут любыми
функциями этих расстояний ; пусть тело описало до данного момента кривую
ЕМ, и в настоящий момент его скорость в М пусть равна и; с этой скоростью
тело проходит элемент кривой Мт = ds в течение времени dtr и мы будем
иметь ds = и dt. Согласно тому, что я изложил, усилие сил на тело М будет
равно j V dv -f j V dv' -f f V" dv" -j- и т. д., если рассматривать
движущие силы; следовательно, обозначая усилие через Ф, мы получим :'
Ф = J V dv -f- V' dv' -f- fjV" dv"i~f- и т. д.
'/я
XVII. Теперь, чтобы определить саму скорость тела в соответствии с
действующими на него силами, нужно только получить из этих сил, с помощью
известного разложения, касательные силы. Для этого проведем из точки т на
направление сил перпендикуляры mv, mv', mv" и т. д. и по правилам
разложения установим, что касательная сила, получающаяся из силы Mv = V,
есть ¦ V = - ~ V
Мт
ds
благодаря тому, что Mv = - dv. Точно так же касательные силы,
получающиеся t из других сил V', V", будут
V = - V' и -- V" = - df- V".
Mv'
Мт
ds
М т
ds
Следовательно полная касательная сила будет
Vdv
V'dv' - V"dv" ds
Обозначим эту касательную силу через Т. По принципам Механики получим
Mdu = ^-Tdt или 2Ми du = T ds, в силу того, что ds = и dt.
Следовательно,.
2Ми du= - V dv - V' dv' - V" dv" - и т. д.
Отсюда, взяв интегралы, получим:
Мии = const - J V dv - j V' dv' - j V" dv" - и т. д.
XVIII. Следовательно, так как по предложению
j Vdv + J V' dv' + j V" dv" + и т. д.
выражает усилие сил на тело М, которое я положил равным Ф, то, очевидно,
мы получим : Мии = const - Ф. Легко показать, что постоянная не нарушает
соответствия между усилием Ф и живой силой тела Мии, которое я только что
установил, ибо если j Ф dt является максимумом или минимумом, то формула
j Мии dt или J Ми ds будет также максимумом или минимумом, потому что
член j const dt = const t не входит в рассмотрение максимума или
минимума. Помимо того, усилие Ф, выраженное интегральной формулой,
содержит уже в себе произвольную постоянную, так что я мог бы совершенно
пренебречь этой постоянной и просто положить
СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ОБЩИМИ ПРИНЦИПАМИ ПОКОЯ и ДВИЖЕНИЯ МОПЕРТЮИ 83
Мии = -Ф; тогда тождественность была бы еще более очевидной. Однако, если
взять вышеупомянутые интегралы в фиксированных пределах, так что усилие Ф
получит определенное значение, то добавление постоянной будет необходимо,
так как скорость тела М, зависящая от начальной скорости тела, может быть
любой. Следовательно, эта начальная скорость есть та добавочная
постоянная, которая должна быть определена в каждом рассматриваемом
случае. Но какой бы ни была эта величина, она совсем не затрагивает
определение г
максимума или минимума.
XIX. Однако, так как живая сила Мии равна усилию Ф, взятому с обратным
знаком, то следует заметить, что когда J Мии dt или J Ми ds является
минимумом, выражение J Ф dt будет максимумом и обратно. Но хотя разница
между максимумом и минимумом представляется очень большой, она тем не
менее никоим образом не является следствием самой Природы, потому что
максимум и минимум отличаются между собой только в отношении знаков, так
что когда какая-либо величина z является максимумом, та же самая
величина, взятая с обратным знаком, т. е. -z, является минимумом. Вот
почему метод нахождения как максимума, так и минимума один и тот же. Тот,
кто хотел бы с этой стороны напасть на открытое нами тождество между
живой силой Мии и усилием Ф, на самом деле допустил бы только
необоснованную придирку.
XX. Но если тождество между усилием и живой силой доказано только для
случая, когда в движе- Рис. 3.
нии находится единственное тело, то может возникнуть сомнение, будет ли
то же самое тождество существовать тогда, когда движется несколько тел,
соединенных между собою каким-нибудь способом и образующих сгибаемое или
даже жидкое тело. Но в этих случаях, какими бы сложными они ни были, я
утверждаю, что сумма живых сил всех элементов тела всегда сводится к
сумме всех усилий, которым подвержены все элементы в одно и то же время.
Чтобы это доказать, достаточно рассмотреть только два тела М и N,
связанные между собою с помощью стержня MN, поддерживающего их всегда на
заданном расстоянии так, что движение одного зависит от движения другого.
Затем, чтобы не слишком загромождать доказательство, я рассмотрю только
один центр силы V, к которому притягиваются оба тела. Легко видеть, что
то же самое доказательство будет распространяться как на какое угодно
число тел, соединенных между собою, так и на какое угодно число центров
сил.
XXI. Пусть, следовательно, MV = х и jVV = у обозначают расстояния, на
которые оба тела удалены от центра V в заданный момент. Пусть X - какая-
либо функция от х, выражающая ускоряющую силу, с которой тело М
