Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 45

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 461 >> Следующая

выше, прежде всего видим, что это будет только тогда, когда А, В, С и О
будут находиться в одной и той же плоскости, так как если бы точка О была
приподнята над плоскостью ABC, выражение Ах + By -f Cz было бы больше,
чем в том случае, когда точка О находится в той же самой плоскости.
XXXV. Итак, необходимо, следовательно, чтобы Adx + В dy + С dz = = 0; для
того чтобы определить значения дифференциалов dx, dy и dz, допустим, что
точка О перемещается в бесконечно близкую точку о. Пусть угол АО В = р,
ВОС = q и СОА = г, так что р + q + г равно четырем прямым углам. Так как
направление бесконечно малого изменения Оо произвольно, то его можно
взять на прямой VOo и обозначить угол AOV = = со ; тогда получим угол BOV
= со -j- р
и COV = со 4- р + q. Следовательно, с
полагая интервал Оо = do бесконечно малым, получим дифференциалы :
dx = do cos со; dy = do cos (со -f p),
dz = do cos (со + p + q).
XXXVI. Следовательно, в случае равновесия согласно нашему принципу должно
быть
A cos со + В cos (со + р) +
+ Ceos (со + Р + Q) = 0;
значение этого выражения определяется углом со. Разложение косинусов дает
:
A cos со В cos со cos р + С cos со cos (р + q) - В sin со sin р -
- С sin со sin (р + q) = 0;
необходимо, чтобы по отдельности
и А + Bcosp + Ccos(p + q) = 0, и Bsinp + С sin (р + q) = 0.
XXXVII. Но так как р + q = 360° - г, то получим sin (р + q) = - sin г, и,
следовательно, последнее равенство примет вид
Bsinp - С sin г = 0 или В: С = sin г: sin р.
Таким образом, в случае равновесия необходимо, чтобы сила ОВ относилась к
силе СО, как синус угла АОС к синусу угла АОВ. Отсюда, три силы должны
относиться друг к другу как синусы противолежащих углов ; приведенное
сейчас доказательство для сил В и С будет иметь место также для любых
двух других сил, таких, как А и В, А и С и т. д.
XXXVIII. Если бы это доказательство показалось еще сомнительным, нужно
было бы только из уравнения В sin р = С sin г получить или значение В =
или С = и подставить в первое равенство; так,
если взять В = то указанное равенство примет вид
. , С sin г cos р , п ... Л
А SinР +Ccos(p + q) = 0.
88
Л.ЭЙЛЕР
следовательно,
sin q, то полу-sin р.
Но так как р + q = 360° - г, то cos (р + q) = cos г ; уравнение после
умножения на sin р примет вид
A sin р + С (sin г cos р + cos г sin р) = 0,
или A sin р + С sin (р +г) = 0, и так как sin (р + г) = -чим A sin р - С
sin q = 0, а следовательно, А : С = sin q $/ XXXIX. Возьмем линии ОА, ОВ
и ОС пропорциональными самим силам и продолжим линию СО с другой стороны
до точки Е, так что ОЕ = ОС ;
тогда легко увидеть, что эта линия ОЕ будет диагональю АВ, замыкающей
стороны параллелограмма ОА и ОВ. И так как АО : ВО = sin ВОЕ : sin АОЕ,
то
АО: ВО - sin ВОС: sin АОС.
Затем из треугольника АОЕ (рис. 6) полу-1 чим :
О А : О Е = sin АЕО: sin ОАЕ =
= sin ВОС: sin АОВ,
откуда видно, что ОЕ будет равно ОС.
XL. Следовательно, для того чтобы три силы, приложенные к точке О, были в
равновесии, необходимо, чтобы выполня-Рис. 6. лось следующее условие
: если из двух
любых сил, например О А и ОВ, образуем параллелограмм АОВЕ, то третья ОС
должна совпадать с продолжением его диагонали ЕО и быть равной этой
диагонали. Но эта сила ОС, находясь в равновесии с силами ОА и ОВ, будет
в равновесии с силой ОЕ, которой она равна и противоположна ;
следовательно, как силы О А и ОВ вместе, так и одна сила ОЕ
уравновешиваются одной и той же силой ОС отсюда следует, что сила ОЕ
эквивалентна двум силам О А и ОВ. Вот, следовательно, еще один основной
принцип, принцип разложения и эквивалентности сил, на котором
основывается почти вся Динамика и который является необходимым следствием
принципа покоя и равновесия.
XLI. Этот же принцип приводит нас также с самого начала к критерию,
которым обычно пользуются для распознавания состояния равновесия тогда,
когда на точку О действует несколько сил ; этот критерий, хотя и
получается легко из разложения сил, однако непосредственно вытекает из
нашего принципа, без необходимости использовать только что найденный
результат. Пусть к точке О (рис. 7) [24] приложено сколько угодно сил ОА,
ОВ,
ОС, OD и т. д.; обозначим их буквами A, B,C,D и т. д. и положим углы АОВ-
р,
ВОС = q, COD = г, DO А = s ; если через точку О мы проведем какую-нибудь
линию VZ и назовем угол AOV - со, то для равновесия, так же как было
найдено для случая трех сил, найдем такое равенство :
A cos со + В cos (со + р) + С cos ("> + р + "О + Т) cos (со + р -f- # +
г) = 0,
и каким бы ни было число сил, мы всегда придем к подобному уравнению.
Рис. 7.
СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ОБЩИМИ ПРИНЦИПАМИ ПОКОЯ И ДВИЖЕНИЯ МОПЕРТЮИ 89
XLII. Возьмем линии О А, ОВ, ОС, OD пропорциональными самим силам А, В,
С, D, так, чтобы силы могли быть выражены прямыми линиями, и проведем из
точек А, В, С, D на прямую VZ перпендикуляры Аа, Bb, Сс, Dd; ясно, что
получим
Оа = О A cos со;
ОЬ = - О В cos (со + р);
Ос = - ОС cos (со + р + q);
Od = OD cos (со + p + q + r).
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed