Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
обладала тем свойством, что в каждой точке поверхности количество
действия
]Vdv + J V'dv' + J V" dv"
имело постоянное значение. Дело в том, что вообще в высшей степени трудно
найти такую форму тела, для которой выражение
j dS (j Vdv + J V' dV + J E" dv" + ...)
имеет максимум или минимум, ибо этот метод достаточно разработан только
для фигур на плоскости.
Итак, чтобы подкрепить справедливость этого общего правила и показать,
что оно ведет к тому же решению, которое я нашел, я рассмотрю жидкую
массу, бесконечно тонкую, расположенную в плоскости, причем все частицы
этой массы притягиваются к нескольким неподвижным центрам С, С', С" и т.
д., расположенным в той же плоскости.
72
Л. ЭЙЛЕР
XXIV. Пусть AM - поверхность этой жидкой массы, когда она находится в
равновесии (рис. 5); чтобы найти ее форму, возьмем координаты СХ - х, ХМ
= у, а для других цент-
частицу Гу возьмем равной dxdy. Теперь пусть расстояния от этой частицы
до центров сил будут CY = v, C'Y = v', C"Y = v", а сами силы, как и до
сих пор, V, V', V", так что мы имеем
интеграл от этого выражения в предположении, что х является постоянным,
даст количество действия сил на весь элемент ХхтМ при условии, что точку
Г продвигают до М и что смысл обозначений у, у и у" остается тот же,
какой был им придан вначале. Следовательно, количество действия сил на
весь элемент площади ХхтМ будет равно
если предположить, что в этом интеграле абсцисса х постоянна, и меняется
только апликата у. Я обозначу для сокращения этот интеграл, который
получается в предположении постоянства х, через U :
так что дифференциал функции U, взятый все еще в предположении
постоянства х, будет
XXV. После того как найдено таким образом количество действия на элемент
ХхтМ, равное Udx, ясно, что количество действия на всю площадь СХМА будет
равно J Udx. Следовательно, это количество \U dx должно быть наименьшим
между всеми формами, которые эта площадь могла бы принять ; дело идет,
следовательно, о том, чтобы найти среди всех фигур с одной и той же
площадью J у dx такую, для которой значение выражения J Udx - наименьшее.
Эта задача сводится к такой, как если бы среди воз-
дут: С'Х' = х', Х'М =-- у, СХ'' = х", Х"М = у"; мы будем иметь dx = dx' =
dx'' и dy = dy' = dy". Но прежде чем рассматривать точку М, нужно найти
количество действия на элемент ХхтМ площади СХМА, которая у нас
представляет жидкую массу. Для этой цели возьмем какую-либо частицу Гу
этого элемента ХхтМ и положим XY = у, X'Y = у', X"Y = у";
ров подобными координатами пусть бу-
Рис. 5.
vv = хх + уу, v'v' = xfx! + у'у', VйVй = х"х" + у"у". Тогда, если
количество действия этих сил на точку Г будет
Г Vdv + S V'dv' -f J Vdv",
то количество действия на частицу Гу будет равно
dxdy ($Vdv + Sv dv' + J V" dv");
dxj?fy(j Vdv + J V'dv' + J V" dv" + ...),
$dy($ Vdv + $ V' dv' + $ V" dv" + ...) = U,
dy (J V dv + f V' dv' + j- V" dv" + ...),
или, если положить вообще
dU - М rfx + N dy,
то мы будем иметь
N = J Vdv + J V' dvr + j V" dv" + ...
СООБРАЖЕНИЯ ПО ПОВОДУ НЕКОТОРЫХ ОБЩИХ ЗАКОНОВ ПРИРОДЫ
73
можных кривых искали кривую, для которой выражение
a J у dx + J U dx или j dx (U + а у)
имеет минимум. Для этого, следуя моему методу, сравним это выражение с f
Z dx, полагая
dZ = Mdx + Ndy + Pdp +...
Искомая кривая тогда будет
*~?-о.
Но так как
Z = U + ay
и U содержит только переменные х и у, мы будем иметь
N = О
или, иначе, дифференциал выражения V + аУ> взятый в предположении, что
переменным является только у, должен быть равен нулю. Следовательно, так
как дифференциал функции U, взятый в предположении, что меняется только
у, равен
dy (J V dv + J V dv' + J V" dv'),
а дифференциал ay равен ady, мы получим для искомой кривой AM уравнение
a + JVrfw-f J V'dv'+ $ V" dv№ =0,
или, иначе, количество действия сил на каждую точку кривой AM должно быть
одним и тем же, совершенно так, как это было найдено при помощи других
принципов. Такое прекрасное согласие нашего общего принципа в этих
случаях не оставляет ни малейшего сомнения в том, что он будет подобным
же образом согласовываться и во всех других случаях.
XXVI. Мы убедимся еще более в истинности этого общего принципа, если
заметим, что выражение, наименьшее значение которого соответствует фигуре
равновесия гибких нитей, в совершенстве согласуется с этим принципом. В
самом деле, пусть AM будет фигурой равновесия совершенно гибкой нити,
каждый из элементов которой притягивается к центрам С, С', С" силами V,
V' и V". Согласно нашему принципу нить останется в покое, если сумма всех
действий сил на нить AM будет наименьшей. Чтобы найти эту сумму, следует
искать количество действия на элемент Мт = ds; если обозначить расстояния
СМ = v, С'М = v', С"М = v", то количество действия на точку М равно
JVcfo + J V'dv' + j V"dv",
действие на элемент Мт = ds будет равно
ds (jV dv + j V' dv' + j V" dv"),
и следовательно, суммой всех действий на часть нити AM будет интеграл
J ds (§Vdv + J V dv + j У" dv").
