Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
один приводит нас ко всем результатам, полученным до сих пор в Статике
или Динамике. С помощью этого единственного принципа вся Наука о
равновесии могла бы быть объяснена во всей своей общности, без
употребления какого-либо другого принципа. Это тем более замечательно,
что, как известно, до сих пор для определения различных случаев
равновесия пользовались несколькими различными принципами, ибо способ,
которым обычно объясняют разложение сил, предполагает принципы отличные
от тех, с помощью которых объясняют природу рычага. Всегда,
следовательно, важно открыть принцип, который один способен охватить все
различные случаи равновесия, рассматриваемые в Динамике.
XXVIII. Следовательно, если это большое преимущество свойственно принципу
Мопертюи, то нет никакого сомнения в том, что этот принцип содержит в
себе сущность почти всех наших знаний в Науке о равновесии и что он
должен рассматриваться как истинная основа этой Науки и как наиболее
нерушимый закон Природы. Более того, нельзя не согласиться, что этот
принцип - наиболее удачное и наиболее важное открытие из тех, которые
когда-либо были сделаны в этой Науке, потому что до сих пор не могли
найти такой принцип, который был бы общим для всех случаев равновесия. И
без сомнения, заслуживает наибольшего внимания то, что этот принцип в то
же время открывает нам, так сказать, истинное намерение [intention].
Природы, которая действует с возможно наименьшими затратами.
XXIX. Я полагаю, что важность предмета требует, чтобы я показал, как все
основные элементы Динамики весьма естественно вытекают из,этого великого
принципа Природы, в силу которого никакие силы не были бы в равновесии,
если бы сумма их усилий не была наименьшей. Это, без сомнения, будет
способствовать представлению рассматриваемого принципа в полном объеме и
сделает очевидной его сущность, проявляющуюся в приложениях к случаям,
более трудным, чем те, которые я изложил в своих
86
Л. ЭЙЛЕР
Мемуарах по этому вопросу в IV томе наших Memoires. Благодаря этому
станет очевидным, что вся Динамика и, следовательно, так же Механика
основаны на этом единственном принципе и могут быть объяснены с его
помощью без необходимости прибегать к другим принципам.
XXX. Я начну со случая, в котором несколько сил приложено к одной точке,
и покажу, что точка не будет находиться в равновесии, если только сумма
усилий не будет наименьшей. Именно отсюда вытекает основной принцип
разложения сил, являющийся последним выводом всей Статики и других наук,
зависящих от нее. Я, следовательно, покажу, что этот фундаментальный
принцип есть только весьма естественное следствие универсального принципа
равновесия Мопертюи. С этой целью я предположу силы, действующие на точку
постоянными, чтобы не углубляться в исследование задач с переменными
силами.
XXXI. Пусть сначала мы имеем точку О, увлекаемую двумя силами ОА и ОВ к
фиксированным точкам Л и В с помощью, если угодно, двух грузов,
привязанных к ней нитями АО и ВО и подвешенных к блокам, укрепленным в Л
и В. Пусть Л - сила или груз, который тянет по ОА, и В - сила или груз,
действующий по ОВ; если обозначим расстояние ОА = х и ОВ = у, то усилие
силы Л будет равноf Л dx = Ах, а усилие силы В равно J В dy = By.
Следовательно, в силу нашего принципа точка О не будет находиться в
покое, если только сумма усилий Ах + By не будет возможно наименьшей.
XXXII. Проведя прямую АВ, восстановим из точки О к ней перпендикуляр ОР,
и пусть Л В = а, АР = s, OP=z; отсюда получим ВР- а - s и, следовательно,
х = f (zz + ss) и y=f[zz + (а- s)2]. Необходимо, следовательно, чтобы
такая формула была минимумом:
Л f(zz + ss) + В f [zz + (а - s)2] .
Так как эта формула содержит две переменные z и s,to ясно, что
относительно z она станет наименьшей только тогда, когда z = 0, ибо, если
продифференцируем предложенную формулу, считая переменной только z, и
приравняем нулю, то получим :
Az dz , Bz dz л л
-l7------=- + - = О ИЛИ Z = 0.
У(гг + SS) У [zz + (а - s)2]
XXXIII. Для случая равновесия, следовательно, необходимо, чтобы z = 0, т.
е. чтобы OP = z = 0; и наша формула примет вид As + В(а - s); для того
чтобы она была минимумом, необходимо, чтобы Ads - В ds - О или Л = В.
Следовательно, две силы, приложенные к точке О, не будут в состоянии
равновесия, если только их направления не будут противоположны между
собой и если сами силы не будут равны. Таков первый принцип Статики,
непосредственно выведенный из нашего принципа ; из него следует, что для
равновесия двух сил необходимо, чтобы они были равны между собой и
противоположны по направлению.
XXXIV. Рассмотрим теперь случай трех сил ОА, ОВ и ОС, действующих на
точку О, и обозначим эти силы буквами Л, В, С (рис. 5). Полагая
расстояния О А = х, ОВ = у и ОС = z, для усилий этих трех сил получим :
J Adx = Ах; j В dy = By и | С dz - Cz.
СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ОБЩИМИ ПРИНЦИПАМИ ПОКОЯ И ДВИЖЕНИЯ МОПЕРТЮИ 87
Следовательно, необходимо, чтобы Ах By + Cz было минимумом. Отсюда, как и
