Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
понятием времени столкновений.
Столкновения с фононами также приблизительно изотропны, хотя анизотропия
упругих констант и приводит к тому, что скорость звука зависит от
направления распространения фонона по отношению к кристаллографическим
осям. Столкновения можно считать упругими, несмотря на то, что
кинетическая энергия электронов по порядку величины равна теперь лишь kT.
Это объясняется тем, что наиболее энергичный фонон, могущий быть
поглощенным данным электроном, - это тот, который изменит движение
электрона на обратное. Законы сохранения волнового вектора и энергии в
этом случае требуют, чтобы выполнялось соотношение
/=2 * + (10.10)
где т* - эффективная масса, с -скорость звука. Энергия фонона при этом
будет мала по сравнению с начальной энергией электрона, если только
4 n?c<^bk, (10.11)
или, иными словами, если скорость электрона велика по сравнению со
скоростью звука. Средняя тепловая скорость электронов при комнатной
температуре в предположении т*-т имеет порядок 107 см/сек. Это значение
велико по сравнению с с, и поэтому передача энергии при столкновении
является ничтожной.
Отсюда следует, что мы можем пользоваться понятием времени столкновений.
Время столкновений для электрона может быть получено из уравнения (6.49),
если пренебречь л (к, /) и л (к', I') по сравнению с единицей и считать,
что л (к, [) содержит член, пропорциональный косинусу угла между вектором
к и некоторым фиксированным направлением. При выполнении условия (10.10)
мы можем пренебречь энергией фонона. Для фиксированных к температура
232
ГЛ. 10. ПОЛУПРОВОДНИКИ И ЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ
входит только в выражения для чисел фононов, и если она не слишком низка,
так что квантовые свойства фононов с волновым числом, меньшим 2к, можно
считать несущественными, то Af и N-\- 1 пропорциональны температуре.
Частота столкновений для заданного электронного состояния остается, таким
образом, пропорциональной Т.
Для определения зависимости от к заметим, что суммирование по к' может
быть заменено интегрированием, причем элемент объема в к-пространстве
равен k'2 dk' dQ', где dQ'- элемент телесного угла. Так как дифференциал
от энергии равен dE' = (й2//ге*) k' dk', то после исключения S-функции с
помощью интегрирования по энергии у нас остается множитель k. Квадрат
матричного элемента | (k', I' | А | к, I) |а, согласно формуле (6.61),
пропорционален частоте фонона. С другой стороны, числа фононов N,
согласно формуле (2.4), в классическом пределе обратно пропорциональны
частоте фононов. Отсюда следует, что частота столкновений пропорциональна
волновому вектору или скорости электрона; это можно сформулировать иначе,
отметив, что свободный пробег не зависит от скорости.
Что касается эффекта Холла, то существование определенного времени
столкновений дает возможность применить теорию, развитую в гл. 7, § 4
вплоть до формулы (7.58). Однако так как электроны не все обладают одной
и той же скоростью, то вместо формулы (7.59) надо вывести новую путем
более тщательного вычисления тока Jy по формулам (7.58) и (7.57). При
этом оказывается, что в формуле (7.59) время % заменяется следующим
выражением:
х2"2
Tt/2
где v - опять скорость электрона, а среднее следует брать по
максвелловскому распределению. Соответствующее среднее значение в
выражении для проводимости (6.16) равно
то2
Используя наш вывод о независимости т от скорости, мы находим, что
выражение (7.61) должно быть умножено на отношение
у*
("Г
которое в случае максвелловского распределения равно Зчс/8.
Следовательно, коэффициент Холла для изотропного полупроводника, в
котором существуют либо электроны, либо дырки, равен
(10Л2)
Однако прежде чем использовать это соотношение для определения числа
электронов или дырок, надо быть уверенным в том, что выпол-
§ 4. ГРАДИЕНТЫ ПЛОТНОСТИ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ЗАРЯД 233
няются условия его применимости. В частности, для полупроводника с
собственной проводимостью, в котором электроны и дырки в общем случае
дают сравнимые величины эффекта Холла, надо заменить формулу (10.12)
выражением (7.65), которое обычно недостаточно для нахождения параметров
из опытных данных без некоторых дополнительных предположений о характере
модели.
§ 4. Градиенты плотности и пространственный заряд х)
До сих пор мы рассматривали только случаи, в которых плотность электронов
однородна по пространству. Для полупроводников интересен также случай,
когда их плотность неоднородна. Это может произойти либо в силу
неоднородности плотности атомов примеси, которые действуют как доноры или
акцепторы, либо вследствие перехода электронов в верхнюю полосу под
действием световой волны, которая может иметь градиент интенсивности
вследствие поглощения в веществе или в соответствии со своей
направленностью создает некоторое преимущественное направление скорости
электронов. Я рассмотрю детально только первый из этих возможных случаев;
второй имеет значение в связи с фотоэффектом в поверхностном слое,
