Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
который мы не будем здесь рассматривать.
Предположим, что некоторая область кристалла содержит донор-ные уровни с
плотностью па, так что равновесная плотность электронов дается формулой
(10.9), и что энергетическая щель между заполненной и пустой полосой
много больше kT, поэтому эффект, связанный с собственной проводимостью,
пренебрежимо мал. Предположим также, что где-то по соседству имеются
другие источники электронов (например, область с большим количеством
доноров или контакт с веществом, обладающим большой электронной
плотностью и низкой работой выхода, или наоборот), вследствие чего
электронная плотность будет отличаться от своего равновесного значения. В
рассматриваемой области мы можем применять выражение (10.2) для
электронной плотности и формулу (10.7) для числа вакантных донорных
уровней, но теперь мы не будем требовать, чтобы обе плотности были
одинаковы. Тогда в общем случае будет существовать некоторая плотность
поверхностного заряда, равная
е(пг - щ). (10.13)
Этот заряд создает электростатический потенциал <р (г), который должен
учитываться при рассмотрении электронных уровней. Потенциал будет мало
меняться на атомных расстояниях, и поэтому мы можем просто заменить
энергии Ег и Еа соответственно на Е2 - e<f и Ей - е<р. Считая, что ср
зависит только от координаты х, получаем из уравнения
1) См. работу Мотта [43].
234
ГЛ. 10. ПОЛУПРОВОДНИКИ И ЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ
Пуассона и уравнения (10.13) следующее соотношение:
= -(10.14)
В состоянии равновесия параметр т) должен быть константой, не зависящей
от х. Подставляя в качестве п2 второе выражение (10.2), а в качестве п1 -
выражение (10.7), находим
gL = _ 4"eng (ее*/кТ- е~е*1кТ), (10.15)
где п%-равновесная электронная плотность, которая выражается формулой
(10.9). Может возникнуть сомнение, можно ли при выводе уравнения (10.15)
брать в качестве энергии 7) ее значение из формулы (10.8). Однако
изменение эквивалентно добавлению константы к электрическому потенциалу,
что не противоречит уравнению (10.14). Выбор в качестве величины т) ее
равновесного значения сводится к условию, чтобы при <р = 0 электронная
плотность принимала равновесное значение.
То решение уравнения (10.15), для которого d<p/dx - 0 при <р = 0, имеет
вид
e<f - 2kT In cth 7-^, (10.16)
где
(10-17>
и х0 произвольно. Следовательно, для малых отклонений от равновесия,
когда <р мало, находим
eT = 467V?-2<a'-a'"V*. (10.18)
Отсюда с той же точностью получим
пг - п% = const • *-2а,/г. (10.19)
С другой стороны, если источник приводит к локальному возрастанию
плотности, намного большему п\, так что е<р много больше, чем kT, то
получим
.. ..О _еъ/кТ "О & kT /1 л пп\
пг - пге -n2(x - x0y*~2ndi(x-x0)*' (Ю.20)
Последняя форма записи показывает, что в этом случае результат не зависит
от пи поэтому формула вполне применима и в случае отсутствия доноров.
Результат можно кратко сформулировать, сказав, что 1/л2 возрастает
линейно с х.
Таким образом, мы заключаем, что малые отклонения от нормальной
электронной плотности выравниваются на расстояниях порядка (10.17),
которые для малых значений равновесной плотности могут
g 5. ВЫПРЯМЛЯЮЩИЕ КОНТАКТЫ
235
быть очень большими по сравнению с периодом решетки. Очевидно также, что
для металлов рассматривать соответствующую задачу не имеет смысла.
Действительно, в этом случае электронная плотность велика и отклонения
выравниваются почти сразу. Конечно, наши формулы непригодны для металлов,
так как для них надо принимать во внимание электронное вырождение, и
поэтому результаты содержат т) вместо kT, но длина, заменяющая /, в этом
случае опять очень мала.
Если мы будем считать, что вместо статических условий имеется некоторый
внешний градиент потенциала, то в этом случае возникает электрический ток
J, определяющийся выражением
где о - проводимость, a D - коэффициент диффузии. Из предыдущего
рассмотрения нам известно, что электроны должны находиться в равновесии,
и, следовательно, если
то ток равен нулю. Отсюда видно, что имеет место следующее соотношение:
Оно было выведено Эйнштейном. Величина и = о/п2е не зависит от
электронной плотности и называется подвижностью.
В наиболее общем случае, когда электронная плотность неоднородна и
присутствует электрический ток, к формуле (10.21), в которой для
стационарных условий J считается константой, т. е. не зависит от х, надо
добавить уравнение Пуассона (10.14). Такой случай, однако, является
слишком общим для простого анализа, и мы рассмотрим в следующем параграфе
только некоторый частный пример.
Важное явление, происходящее с участием полупроводников,-это выпрямляющий
контакт. Речь идет о контакте между металлом и полупроводником, который
обладает высоким сопротивлением по отношению к нулевому току, идущему
через его поверхность, причем сопротивление быстро уменьшается при
увеличении поля в одном направлении, так называемом "прямом"; однако же
если разность потенциалов будет иметь другой знак, то сопротивление
