Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
в нуль, то вблизи этой точки он должен быть пропорционален к, а
вероятность перехода - пропорциональна к3. Вблизи другого края полосы для
больших значений к может случиться, что волновая функция будет иметь
максимум на некоторых гранях многогранника, ограничивающего элементарную
ячейку, и обращаться в нуль на других; поэтому по своей симметрии она
будет ближе к p-волне и сделанные выше утверждения надо заменить на
обратные.
Таким образом можно ожидать, что вероятность перехода будет более или
менее постоянна вдоль полосы, за исключением краев полосы, где она может
уменьшаться пропорционально расстоянию от того или иного края, в
зависимости от того, где находится минимум энергии, а также от характера
внутреннего уровня, участвующего в процессе.
При таком методе наилучшие результаты получаются при использовании весьма
мягких рентгеновских лучей, так как для ¦больших энергий (очень глубокий
начальный уровень) ширина полосы прово-
s 3. ФОТОЭФФЕКТ
219
димости будет составлять малую долю от полной разности энергий. Таким
путем Скиннер 166] и другие авторы получили кривые, которые дают ясное
представление о плотности уровней в зависимости от энергии для многих
металлов.
Таким же образом можно изучать испускание мягких рентгеновских лучей, с
той разницей, что в случае поглощения выявляются лишь те уровни, которые
в нормальных условиях не заполнены, а испускание зависит от верхнего
занятого уровня. Оба результата должны дополнять друг друга, причем
оказывается, что кривая поглощения резко спадает у своего низкочастотного
порога, а для кривой испускания этот порог является верхним краем.
То обстоятельство, что, во всяком случае качественно, результаты
совпадают с предсказаниями простой теории, совсем не тривиально. Как
всегда, наша модель не учитывает взаимодействие между электронами, за
исключением усредненного эффекта. Если внутренний электрон был удален из
какого-либо атома, то распределение потенциала в этом атоме должно
измениться по сравнению с соседями. В дальнейшем мы обсудим очень похожее
явление в неметаллах, где оно окажется существенным. В принципе вполне
возможно, что в окрестности этого конкретного атома дополнительный
потенциал притяжения привел бы к появлению отдельного энергетического
уровня, находящегося под нижним краем обычной полосы проводимости. Если
бы такое явление было возможно, то можно было бы ожидать появления около
низкочастотного края полосы испускания нескольких дискретных линий или
довольно узких пиков, так как столкновения могут привести к уширению
линий. Однако на опыте это не обнаружено.
§ 3. Фотоэффект
Особый случай поглощения света представляет собой фотоэффект,
при котором электрон может покинуть металл. Если мы применим
формулу (9.9), то найдем, что порог фотоэффекта не определяется хорошо
известным уравнением
bw = W, (9.11)
так как соответствует более высокой частоте. Это можно сразу
увидеть следующим образом. Для определения порога формулой (9.11), нужно,
чтобы электрон из состояния на границе распределения Ферми (Е = 1))
переходил в свободное состояние с нулевой скоростью. Полагая для
простоты, что свободная поверхность является плоскостью ле = 0, мы
приходим к выводу, что трансляционная симметрия кристалла требует
неизменности компонент волнового вектора ky и kz при прохождении
частицы через поверхность. Если ее скорость
снаружи пренебрежимо мала, то мы должны иметь = 0 внутри
220 ГЛ. 9. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА О ЭЛЕКТРОНАМИ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
кристалла. Далее, в каждой полосе уравнение
Ег(кх, 0, 0) = т) (9.12)
имеет только два решения, соответствующих равным и противоположным
значениям kx, из которых одно описывает электрон, удаляющийся от
свободной поверхности. Следовательно, конечная энергия Ер (к) тоже имеет
совершенно определенную величину для каждого из kx. В общем случае ни
одно из этих значений энергии не будет совпадать с W-\-%т. е. с энергией
электрона, покоящегося вне металла.
Однако при таком рассуждении не принимается во внимание влияние, которое
оказывает поверхность металла на движение электронов. Утверждение, что
при оптическом переходе волновой вектор не изменяется, было выведено с
использованием трансляционной симметрии кристалла. Вблизи поверхности эта
трансляционная симметрия в направлении, нормальном к поверхности,
очевидно, отсутствует. Используя аналогию между волновым вектором и
импульсом, мы можем сказать, что баланс энергии и импульса, который
невозможен для фотона с частотой, находящейся у самого порога (9.11),
может быть восстановлен при помощи поверхностных сил, которые примут на
себя лишний импульс и передадут его всему кристаллу в целом.
Этот эффект, очевидно, наиболее важен для электронов, находящихся в
достаточно тонком поверхностном слое. Чтобы волновой вектор имел
неопределенность 8&, электрон должен находиться на расстоянии порядка
2тх/8Аг от поверхности. Отсюда можно увидеть, что если только работа
выхода не очень мала или один из уровней в верхних полосах, достижимых с
