Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
играть роль носителей тока, и поэтому соответствующая энергия определяет
температурную зависимость числа носителей тока в полупроводнике.
§ 2. Число носителей тока
Чтобы рассчитать число носителей тока в полупроводнике с собственной
проводимостью, мы примем, что Ег означает верхний край занятой полосы, а
Е2 - дно пустой полосы. Величина Z1 (Е1 - Е) характеризует число
состояний в нижней полосе с энергией выше Е, a Z2(E - Еа) - число
состояний в верхней полосе с энергией ниже Е.
I 2. ЧИСЛО НОСИТЕЛЕЙ тока
229
Применяя распределение Ферми и учитывая спин, находим
где ях - число дырок в нижней полосе, а п2 - число электронов в верхней.
Эти две величины должны быть равны, если кристалл нейтрален; при
умеренных температурах обе они будут малыми. Чтобы оба выражения были
малыми, их знаменатели должны быть большими, поэтому единицей можно
пренебречь. При этом получаем
где в первом интеграле мы ввели в качестве переменных интегрирования Et-
Е, а во втором Е - Е2.
Если можно считать, что в обеих полосах энергия является квадратичной
функцией от волнового числа вблизи максимума или минимума энергии, то мы
можем характеризовать состояния в каждой из них соответствующей
эффективной массой (если энергия вблизи максимума или минимума
анизотропна, то это должно быть надле*-жащим образом взятое среднее по
направлениям), так что на единицу объема получим
где т1 и тк2 - эффективные массы. Чтобы и пг были равны, выражение для
энергии т) должно иметь вид
В нашем приближении предполагается, что щель Е2 - Ех значительно больше
kT, и если массы не слишком сильно различаются, то второй член будет
пренебрежимо мал. Тогда энергия Ферми ч\ будет лежать как раз в середине
щели, и легко проверить, что пренебрежение единицей в обеих знаменателях
в (10.1) оправдано. Подставляя т) в (10.2), получаем
(10.1)
ОО
nt = 2е~$to-(r)*) J ds = е-Р^~E')KV
о
оо
оо
(10.2)
я2 = 2е-е <*-ч> J ds =
О
(10.3)
4=!(?2 + ?1) + !*rinj&.
(10.4)
1 (2m*kT\^
230
ГЛ. 10. ПОЛУПРОВОДНИКИ И ЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ
Выражение (10.5) имеет характерную экспоненциальную зависимость числа
носителей тока от температуры. Появление в экспоненте половины требуемой
энергии типично для реакций диссоциации.
Электропроводность зависит от числа носителей тока и времени их
столкновений, но последнее по сравнению с экспонентой в (10.5) будет
медленно меняющейся функцией температуры, и поэтому в общем случае закон
(10.5) даст также температурную зависимость проводимости.
Для примесного полупроводника, имеющего nd донорных атомов на единицу
объема, каждый из которых содержит один электрон с энергией Ed, второе
выражение (10.2) останется применимым, но первое должно быть заменено
следующим:
где теперь характеризует число вакантных донорных уровней которое опять-
таки должно равняться пг.
Тогда имеем
Важными особенностями этой формулы являются экспоненциальная зависимость
пг от температуры и пропорциональность пг квадратному корню из
концентрации доноров.
Аналогичная формула, естественно, имеет место и для акцепторов.
Если одновременно имеются и доноры и акцепторы, а уровни доноров лежат
выше уровней акцепторов, то электроны оставляют донорные атомы и
переходят к акцепторным до тех пор, пока какой-нибудь из типов уровней не
истощится. Тогда формула (10.9) должна быть изменена. Если уровни
акцепторов лежат выше уровней доноров, то энергия Ферми будет находиться
между ними, и, следовательно, либо число электронов в верхней полосе,
либо число дырок в нижней будет меньше, чем оно было бы при отсутствии
чужеродных атомов какого-либо одного типа.
Однако в одном и том же веществе различные чужеродные атомы могут при
изменении условий давать главным образом либо дополнительные электроны,
либо вакантные места.
Если число носителей задано, то мы можем рассмотреть свойства вещества
так же, как это было сделано в гл. 6 для металла. Важное отличие
заключается в том, что электронная плотность в общем
(10.8)
Следовательно,
(10.9)
§ 3. Электрические свойства
§ 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
231
случае мала, так что электроны и дырки не образуют вырожденного Ферми-
газа, и поэтому применимы уравнения статистики Больцмана. Малое число
носителей означает также, что некоторые свойства электронов, например их
доля в теплопроводности или в теплоемкости, намного перекрываются
величинами, происходящими от колебаний решетки, и поэтому не имеют
практического интереса.
Что касается проводимости, то в общем случае применимы рассуждения,
приведенные в гл. 6. Если мы имеем дело с кубическим кристаллом и если
энергетическая поверхность пустой полосы имеет только один минимум (или
поверхность заполненной полосы только один максимум), то энергетическая
функция Е (к) будет изотропной. Так как электронные волны являются
длинными, то столкновения с примесями в среднем также будут изотропными,
и поэтому кристаллографическая анизотропия рассеивающего центра
несущественна. При этом можно с достаточной уверенностью пользоваться
