Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
от распределения плотности вещества р дается уравнением Пуассона:
<32ф . <32ф . 32ф , , ,_г 1Ч
¦^2 + Оф + gp- 4л&р, (7о.1)
где k - гравитационная постоянная. В релятивистской теории
гравитации его следует модифицировать: во-первых, из-за необходимости
вычислять десять компонент метрического тензора
(или гравитационных потенциалов) g^v вместо единственного гравитационного
потенциала ф в ньютоновской теории; во-вторых, специальная теория
относительности дает нам соотношение между массой, энергией и импульсом,
показывающее, что ковариант-ные выражения должны определяться всеми
десятью компонентами тензора энергии - импульса Т^, а не какой-нибудь
единственной выделенной величиной, которую можно назвать плотностью
материи.
Наша главная цель, следовательно, состоит в том, чтобы получить аналог
уравнения Пуассона - ковариантное уравнение, связывающее и T^v и
приводящее в первом приближении к результатам ньютоновской теории.
Однако, прежде чем приступить к полному разрешению этой задачи,
целесообразно рассмотреть два специальных случая: случай, когда поля
соответствуют специальной теории относительности, и случай полей в
пустоте вблизи гравитирующих тел.
Общая гипотеза, что метрическое поле определяется распределением материн
и энергии, может быть названа принципом Маха *).
*) Принципом Маха эту гипотезу назвал Эйнштейн [55], поскольку считал ее
обобщением взглядов Маха, который полагал, что инерция должна быть
следствием взаимодействия тел. В то время Эйнштейн думал, что принцип
Маха необходим для введения Л-члена в уравнения поля. Впоследствии,
однако, выяснилось, что без этого члена можно обойтись.
Взгляды Маха, по-видимому, не выдержали экспериментальных проверок.
Сейчас нет ни малейших указаний на какую-либо связь между распределением
масс во Вселенной и массой какого-либо тела или частицы. (Прим. ред.)
§ 76. ТЕНЗОР РИМАНА - КРИСТОФФЕЛЯ
193
§ 76. Поля, соответствующие специальной теории относительности. Тензор
Римана - Кристоффеля
Специальную теорию относительности можно рассматривать как теорию,
развитую в предположении о "плоском" пространстве- времени и в
пренебрежении внутренними гравитационными полями; ее выводы,
следовательно, будут приближенно справедливыми для так называемого
свободного пространства на больших расстояниях от гравитирующих тел.
Обратимся теперь к ковариантным условиям, приводящим к "плоскому"
пространству - времени специальной теории относительности.
Начнем с того, что введем тензор Римана - Кристоффеля с помощью символов
Кристоффеля первого рода
Rlva == r"0r*v - Г2Л -!- Via - JL F*v. (76.1)
В тензорном характере этого выражения легко убедиться. Далее, из
определения символов Кристоффеля первого рода
(73.14) видно, что RX]iva составлен лишь из компонент метрического
тензора и его первых и вторых производных по координатам. Более того,
можно показать, что все тензоры, которые можно построить из
фундаментального тензора guv без обращения к производным выше второго
порядка, являются функциями ё'цу И Riivo-
Условие того, что пространство - "плоское", может быть получено
приравниванием нулю тензора Римана - Кристоффеля. что приводит нас к
ковариантному уравнению
Rlva - о. (76.2)
Это уравнение, очевидно, является необходимым условием, так как мы знаем,
что в случае "плоского" пространства - времени всегда можно выбрать
координаты, в которых компоненты gllv будут постоянными; следовательно,
обратятся в нуль все величины в тензоре Кристоффеля. Можно также
доказать, что равенство кулю тензора Римана - Кристоффеля есть
достаточное условие для возможности выбора координат, в которых все
компоненты g,iv постоянны (впервые было показано Лнпшптцем [57]).
Тензорное уравнение (76.2) выражает, таким образом, условия, необходимые
для применимости специальной теории относительности и для отсутствия
постоянных гравитационных полей, которые не могут быть исключены путем
специального выбора системы координат. В действительности найдено, что
плотность материи во Вселенной приближенно однородна (для расстояний *3
Р. Толмен
194
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
по крайней мере 108 световых лет), насколько это удалось установить в
100-дюймовый телескоп обсерватории Маунт Вильсон *).
Таким образом, нет никаких оснований считать, что имеется какая-либо
область во Вселенной, в которой можно было бы преобразованием координат
полностью избавиться от действия гравитационного поля. В самом деле, даже
присутствие физической измерительной аппаратуры создает неисчезающее
гравитационное поле. Другими словами, то, что мы называли до сих пор
свободным пространством, в котором должна строго выполняться специальная
теория относительности, в действительности в реальной Вселенной не
существует и является лишь идеализацией. Тем не менее ясно, что законы
специальной теории относительности приближенно верны в постоянном
гравитационном поле на поверхности Земли и выполняются с очень высокой
степенью точности в межгалактическом пространстве. Поэтому нам кажется
