Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
Описанное решение известного парадокса часов, возникающего в специальной
теории относительности,-особенно поучительный пример того, как
оправдывается представление об относительности всех видов движения,
которое возникает, если принять общую теорию относительности.
Подобное же рассуждение может быть с успехом использовано для определения
разности хода двух часов, когда одни помещены в центре вращающейся
платформы, а другие - на ее краю. Если считать, что платформа вращается,
то часы на периферии должны идти медленнее, чем часы в центре. Если,
наоборот, считать, что платформа покоится, а остальное пространство
вращается в противоположном направлении, более медленный ход
периферических часов мы могли бы объяснить тем, что они находятся при
более низком гравитационном потенциале, в соответствии о гравитационной
интерпретацией центробежных сил. Общая идея относительности всех видов
движения будет, таким образом, опять-таки сохранена, так как мы с
одинаковым успехом можем считать, что вращается платформа или вращается
остальное пространство *).
§ 80. Ньютонова теория как первое приближение
В качестве следующего приложения общей теории относительности покажем,
что ньютонову теорию тяготения можно рассматривать как первое приближение
к более строгому решению задач общей теории относительности; при этом
окажется, что величина gu из общей теории относительности тесно связана с
гравитационным потенциалом ф теории Ньютона.
Чтобы убедиться в этом, покажем, что, во-первых, движение свободной
частицы, определяемое ньютоновыми уравнениями, согласуется в первом
приближении с предсказаниями релятивистских уравнений движения; во-
вторых, что уравнение Пуас-
*) Экспериментально "парадокс часов" был продемонстрирован при облете
вокруг Земли. См. добавление редактора после § 83. (Прим, ред.)
§ 80. НЬЮТОНОВА ТЕОРИЯ КАК ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
205
сона можно считать первым приближением к более общим уравнениям
Эйнштейна. Ограничимся пока рассмотрением частиц, движущихся в очень
слабых статических полях со скоростями, очень малыми по сравнению со
скоростью света, ибо теория Ньютона была развита как раз для такого рода
ситуаций. Тогда формула для интервала будет лишь слегка отличаться от
соответствующей формулы специальной теории относительности, которая в
галилеевых координатах выглядит1 так:
d52=r - (dx1)2- (dx2)2- (dx2) 2+ (dx4)2; (80.1)
компоненты этой формы g^v будут близки к значениям из специальной теории
относительности:
^11 ~ <§22 ~ <§зз ~ - Ь ёЧ4~1, §Vv~0 (p^v), -(80.2)
и не будут зависеть от времени:
ds,
(IV
дх*
0. (80.3)
Кроме того, мы можем задать приближенно компоненты обобщенной скорости
рассматриваемой частицы, положив
dx' dx2 dx3 dxi^si (Q(M\
а) Движение свободной частицы в слабом гравитационном поле. Теперь
легко найти характер движения свободной пробной частицы в таком слабом
поле.
Из специальной теории относительности (§ 74, д) следует, что траектории
свободных частиц, вообще говоря задаются уравнениями геодезических линий
(74.13):
d2xa , -p(j dx^ dxv n
4^~ + 1 ЧГ ЧГ -u-
Для нашего упрощенного случая благодаря (80.4) они сводятся при а=1, 2, 3
к приближенным выражениям
И2 -
+ Г 44 = 0. (80.5)
Далее, используя определение символов Кристоффеля (73.14) и приближенные
величины g^ (80.2), можно записать:
Гст = - а<(tm) [ д&4<3 A- Sgia - 2iil 44 2 ё 1 дх* дхо
где знаки суммирования опущены. Учитывая к тому же статическую природу
полей (80.3), приходим к упрощенному
206
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
соотношению
т" = -тЪ' (806)
подстановка которого в (80.5) позволяет найти уравнение
d*xa 1 dgu
d(*4)a - 2 дх'
а
(80.7)
Этот результат, однако, легко переписать в форме, близкой к ньютоновой
теории тяготения, если ввести обычные пространственные и временные
переменные через галилеевы координаты
х]-х, х2-у, x3=z, x4-ct (80.8)
и связать ньютоновский потенциал ф с ?44 выражением
= Т- = const
¦5- = Skf1. §44=1+^-. (80.9)
Аддитивная константа здесь должна быть выбрана так, чтобы потенциал ф
стремился к нулю в свободном пространстве на больших расстояниях от
гравитирующих тел, где gM"l, как этого требует специальная теория
относительности. Подставляя
(80.8) и (80.9) в (80.7), мы можем записать этот результат в
привычной ньютоновской форме:
d2x _ _дф_ __ _ дф d?z_ ?ф_ "л tf|4
dt* ~ дх ' dt* ~ Ну' dt2 дг '
б) Уравнение Пуассона как приближение к уравнениям Эйнштейна. В
заключение, чтобы полностью оправдать предложенную выше интерпретацию
ньютоновского потенциала ф, мы должны также показать, что релятивистские
уравнения Эйнштейна дают нам в первом приближении ту же самую зависимость
ф от распределения материи, что и уравнение Пуассона в ньютоновой теории
тяготения.
Начнем с того, что если выражение для тензора энергии - импульса (37.8)
из специальной теории относительности записать в координатах (х1, х2, х3,
х4), то все компоненты этого тензора в нашем случае приближенно обратятся
в нуль, исключая компоненту
